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Ich habe mal versucht die Gaußsche Summenformel mit vollständiger Induktion zu beweisen (bin noch Schüler, daher wird es wahrscheinlich Notationsfehler geben), ohne mir vorher andere Beweise anzuschauen. Wäre nett, wenn das mal jemand überprüfen könnte.

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Hallo abc18,


im Groben sieht das gut aus. Du formst deine Behauptung solange um, bis du deine Induktionsvoraussetzung widergewinnst, um damit den Induktionsschritt zu beweisen. Um daraus jetzt einen formalen Beweis zu machen, ist es hilfreich, die einzelnen Abschnitte im Beweis zu kennzeichnen. Und du musst bei deiner Behauptung sagen, für welche Zahlen du den Beweis durchführst. Du kannst das zB so sagen: $$  \forall n \in \mathbb{N}_{\geq 1}: \sum_{k=1}^n k=\frac{n\cdot (n+1)}{2} $$

∀: ,,Für alle''

∈: ,,element''

Dann dein Beweis (durch vollständige Induktion):

Induktionsanfang: Sei n0=1. Dann ist $$ \sum_{k=1}^1 k=1=\frac{2}{2}=\frac{1\cdot (1+1)}{2}, $$ womit die Aussage für n=1 wahr ist.

Induktionsvoraussetzung: Angenommen die Aussage sei für ein beliebiges, aber festes, n∈ℕ\{0} wahr, sodass gilt:

$$ \sum_{k=1}^n k=\frac{n\cdot (n+1)}{2} \quad (IV)$$.

Induktionsschritt: Dann gilt diese Aussage auch für n+1 ,also

$$ \sum_{k=1}^{n+1} k=\frac{(n+1)\cdot (n+2)}{2}=\frac{n^2+3n+2}{2} $$.

Dies zeigt man so:

$$ \sum_{k=1}^{n+1} k=\Bigg( \sum_{k=1}^{n} k\Bigg)+(n+1)\stackrel{(IV)}{=} \frac{n\cdot (n+1)}{2}+(n+1) =\frac{n\cdot (n+1)+2\cdot (n+1)}{2}\\=\frac{(n+1)\cdot (n+2)}{2}=\frac{n^2+3n+2}{2}.$$Damit wurde obige Aussage für alle n∈ℕ\{0} bewiesen.                                                                                                                                                                              q.e.d.

oder ein Viereck zur Kennzeichnung, dass ein Beweis beendet wurde.

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Vielen Dank für die Mühe :)

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Dein Beweis ist völlig in Ordnung.

Vielleicht zwei Tipps. Zum einen freunde Dich mit dem Summenzeichen an und zum anderen kannst Du ab hier ...$$(n+1)\frac{n}{2} + (n+1) = ((n+1)+1)  \frac{n+1}{2} $$den Term \((n+1)\) ausklammern - man erhält:$$\begin{aligned} (n+1)\left( \frac{n}{2} + 1 \right) &= (n+1) \left( ((n+1)+1)  \frac{1}{2} \right) && \left| \div (n+1)\right.\\ \frac{n}{2} + 1  &=  ((n+1)+1)  \frac{1}{2} &&\left| \cdot 2 \right. \\ n+2 &= n+2\end{aligned}$$Bei dieser einfachen Formel macht das kaum einen Unterschied, aber wenn sie größer sind, kann man einen Haufen Rechenarbeit sparen.

Gruß Werner

Avatar von 48 k

Danke dir auch!

Ich wäre glaube ich nicht selber auf das Ausklammern gekommen, aber danke für die hilfreichen Tipps.

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