Pyramide mit Rechteck

Question

Aufgabe:

Eine Pyramide mit dem Rechteck Grundfläche hat:

A(2/-3/7)

B(0/-1/6)

C(1/1/8)

D(3/-1/9)

H=2.25

Problem/Ansatz:

Die Frage ist:

1-)wie man die Koordinaten der Spitze S finden kann

2-)den Winkel,den die Seitenkante mit der Grundfläche einschließt

Ich bin sehr dankbar für die ausführliche Antwort, denn mit Mathematik habe ich wirklich nicht sehr gut

Answer 1

a)
AB = B - A = [0, -1, 6] - [2, -3, 7] = [-2, 2, -1]
AD = D - A = [3, -1, 9] - [2, -3, 7] = [1, 2, 2]

Fußpunkt
F = 1/2·(A + C) = 1/2·([2, -3, 7] + [1, 1, 8]) = [1.5, -1, 7.5]

Normalenvektor
N = AB ⨯ AD = [-2, 2, -1] ⨯ [1, 2, 2] = [6, 3, -6]

Höhenvektor
H = 2.25·[6, 3, -6]/|[6, 3, -6]| = [1.5, 0.75, -1.5]

Spitze
S1 = F + H = [1.5, -1, 7.5] + [1.5, 0.75, -1.5] = [3, -0.25, 6]
S2 = F - H = [1.5, -1, 7.5] - [1.5, 0.75, -1.5] = [0, -1.75, 9]

b)
AS1 = S1 - A = [3, -0.25, 6] - [2, -3, 7] = [1, 2.75, -1]

α = ASIN(AS1·N/(|AS1|·|N|)) = ASIN([1, 2.75, -1]·[6, 3, -6]/(|[1, 2.75, -1]|·|[6, 3, -6]|)) = 46.67°

Answer 2

Die Ebene durch ABCD hat die Gleichung

 2x+y-2z=-13

also ist

2
1
-2

ein Normalenvektor.

Den bringst du auf die Länge 2,25 musst also mit

2,25/3 multiplizieren, gibt

1,5
0,75
-1,5

und den addierst du zu dem Mittelpunkt des Rechtecks

also zu M(1,5 ; -1 ; 7,5 ) und hast eine

Möglichkeit für

die Spitze   ( 3 ; 0,25 ; 6 ) .

Für den Winkel bedenke: Der gesuchte Winkel und der

spitze Winkel zwischen Seitenkante und Normalenvektor

ergeben zusammen 90°.

Answer 3

1-)wie man die Koordinaten der Spitze S finden kann

Bestimme eine gemeinsame Senkrechte   \( \vec{a} \) zu \( \vec{AB} \) und \( \vec{AC} \) (zum Beispiel als Kreuzprodukt). Teile \( \vec{a} \) durch seinen Betrag und multipliziere mit 2,5, Das wird der Vektor \( \vec{b} \) vom Mittelpunkt der Strecke AB zur Spitze.