negatives exponentielles Wachstum

Question

Aufgabe:

wer könnte mir helfen? Wir behandeln gerade lineare und exponentielle Wachtumsprozesse, womit ich eigentlich zurecht komme. Es ist aber auch ein "Zerfall" dabei, wobei der letzte Wert sowie die Funktion selbst zu ermitteln ist, also so was wie eine Rekonstruktion.

Folgende x-Werte und zugehöhrige y-Werte sind gegeben:

x=10000 y= 5000

x=20000 y=3535,5

x=50000 y=2102,2

x=80000 y=1250

x=100000 y=883,9

x=200000 y= ?

Ich habe zuerst geprüft, ob es (negatives) exponetielles Wachtum ist, indem ich die y-Werte jeweils durch den y-Wert davor dividiert habe. Da kommt immer 0,7071 raus, also ist es exponentiell. Doch wie komme ich hier auf die Funktion und könnte es da mehrere Lösungen geben? Wie muss man da vorgehen?

Mit feundlichen Grüßen

Tino

Problem/Ansatz:

Comments

Da kommt immer 0,7071 raus, ...

1250 / 2102,2 ≈ 0,5946.

Answer 1

t=0 h  T=15°C
t=1 h  T=24°C
t=2 h  T=31,2°C
t=3 h  T=37°C

T ( t ) = a * b^t
T( 0 ) = a * b^0 = 15
T( 0 ) = a * 1= 15 => a = 15

T ( t ) = 15 * b^t
T ( 1 ) = 15 * b^1 = 24 => b = 24/15

T ( x ) = 15 * (24/15)^t
T ( x ) = 15 * 1.6^t
Proben
T ( 0 ) = 15  richtig
T ( 1 ) = 24  richtig
T ( 2 ) = 15 * 1.6^2 = 31.2    falsch
T ( 3 ) = 15 * 1.6^3 =  37 falsch

Einfacher Vortest :
Trage in ein Koordinatensystem
die Punkte einmal ein.

Comments

Vielen Dank, hat mir sehr geholfen!

Answer 2

Allgemein hat die Exponentialfunktion eine Funktionsgleichung der Form

        f(x) = a·q^x.

Es gibt zwei Parameter, a und q. Falls es sich also tatsächlich um eine Exponentialfunktion handelt, dann seetze zwei Punkte ein und löse das Gleichungssystem.

könnte es da mehrere Lösungen geben?

Nein. Allerdings kann die gleiche Funktion durch unterschiedliche Funktionsterme dargestellt werden. Zum Beispiel kann

        \(f(x) = 1250\cdot 4^{\frac{8}{7}}\cdot \left(4^{-\frac{1}{70000}}\right)^x\)

umgeschrieben werden zu

        \(f(x) := 1250\cdot 4^{\frac{8}{7}}\cdot e^{x\cdot\ln\left(4^{-\frac{1}{70000}}\right)}\)

Comments

ich habe die Zahlen doch nicht richtig geprüft, es ist gar keine exponentielle Funktion, unser Lehrer hat uns einfach nur paar zusammenhanglose Zahlen gegeben, aber suggeriert, es wäre eine exponentielle Funktion. Tut mir leid, trotzdem vielen Dank!

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Guten Morgen Herr oder Frau Oswald, ich dachte, ich hätte die Problematik verstanden, hab ich aber doch nicht. Schon bei der nächsten Aufgabe ähnlicher Art komme ich ins Stocken und rechne schon seit 2 Stunden. Hier sind folgende Zahlenpaare gegeben:

t=0 h  T=15°C

t=1 h  T=24°C

t=2 h  T=31,2°C

t=3 h  T=37°C

Dass weder lineares noch esponentielles Wachstum vorliegt, ist mir klar. Aber nun soll der Temperaturverlauf durch eine Funktion T(x)=s-b*a^t modelliert und die Bedeutung der 3 Parameter erklärt werden. Könnten Sie nochmal helfen?

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Das Vorgehen ist prinzipiell das gleiche wie bei der vorhergehenden Aufgabe: Punkte werden in die Funktionsgleichung eingesetzt um Gleichungen zu bekommen; anschließend wird das Gleichungssystem gelößt.

(1)        t = 0, T = 15 ⇒ 15 =s - b·a⁰ =s - b
(2)        t = 1, T = 24 ⇒ 24 =s - b·a¹

Subtrahiert man die zwei Gleichungen voneinander, dann bekommt man

        -b + ab = -9

was sich umformen lässt zu

(3)        a =1 - 9/b.

Außerdem ist

(4)        t = 2, T = 31,2 ⇒ 31,2 =s - b·a².

Einsetzen von (3) in (4) liefert

        31,2 =s - b·(1 - 9/b)²

also

(5)        s = 31,2 + b·(1 - 9/b)².

Setzt man jetzt (5) und (1) ein, dann kann man b bestimmen. Dann kann man a bestimmen indem man die Lösung in (3) einsetzt und s indem man die Lösung in (5) einsetzt.

Answer 3

Also ist es eine Funktion von der Art    f(x) = N * a^x  bzw. weil die

x-Werte so groß sind   f(x) = N * a^(x/10000)

und wenn du einsetzt    also   5000 = N * a und

                                               3535,5 = N*a^2

Die zweite  durch die erste gibt   0,7071 = a

und in die erste eingesetzt    5000 = N*0,7071

                N = 7014,14

Also f(x) =    7014,14  *    0,7071 ^(x/10000)

Häufig wird das noch auf eine e-Funktion umgeformt.