Question

Ist ℝ[t ]/ (ℝ[t]·(t²-1) ein Körper? 

 

Ich weiß, dass ich die Ringaxiome zeigen muss und dass man ℝ[t] auch als ∑a_i·tⁱ schreiben kann.

Leider komme ich nicht drauf, was ich damit anfangen soll. 

Wäre um einen kleinen Tipp sehr dankbar. 

Comments

ℝ[t ]/ (ℝ[t]·(t²-1) ist kein Körper, da t-1 ein Nullteiler ist. Gemeint ist sicherlich ℝ[t ]/ (ℝ[t]·(t²+1)

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Nein ist es nicht ICH SOLL JA ÜBERPRÜFEN OB ES EINER IST ODER NICHT.

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Wenn du lesen statt rumschreien würdest, könntest du sehen, dass deine Frage damit beantwortet wurde.

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Könntest du mir bitte noch sagen bzw. einen Tipp geben, warum t-1 ein Nullteiler ist ? ;-)

Answer 1

Ringaxiome musst du nicht nachrechnen.

Die Definition von Idealen besagt gerade dass der Quotientenring - wie der Name schon sagt - ein Ring ist.

Mach dir klar das dem so ist. (Scheint dir ja nicht klar zu sein.)

Ferner kann man ℝ[t] nicht als ∑ai·ti  schreiben, das linke ist eine Menge von Polynom das rechte ein Polynom.


Am einfachsten ist es wohl zu zeigen, dass

$$f: \mathbb R[t] \to \mathbb C, 1\mapsto 1, t\mapsto i$$

ein surjektiver Ringhomomorphismus ist mit Kern

$$\mathbb R[t]\cdot (t^2-1)$$

ist. Dann folgt die Behauptung mit dem Homomorphiesatz

Comments

und wo habe ich dann gezeigt, dass es ein Körper ist?

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Welche Beweisschritte bzw. verwendeten Beweistechniken oder ähnliches sind denn unklar?

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alle ?
ich muss doch nur die Körpereigenschaften überprüfen ? und da es sich hier um einen Ring handelt sind das doch einfach die Ringaxiome ?

Answer 2

die Antwort ist kurz und schmerzlos:

Das Element $(t -1)$ (oder das Element $(t + 1)$) ist wegen $(t-1)(t+1) = t^2 - 1$ ein Nullteiler in $\mathbb{R}[t] / (t^2 -1)\mathbb{R}[t]$.

Da ein Element nicht zugleich Einheit (invertierbar) und Nullteiler sein kann (*), ist $\mathbb{R}[t] / (t^2 -1)\mathbb{R}[t]$ auch kein Körper.

MfG

Mister

PS: (*) Dies kann bei vorhandener Muße extra gezeigt werden.

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Was bedeutet R[t]/(t2−1)R[t] denn eigentlich genau?

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Was der Restklassenring $\mathbb{R}[t] / (t^2 -1) \mathbb{R}[t]$ ist, ist ganz fundamentales Wissen. Das solltest du unbedingt im Vorlesungsskript recherchieren.