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Habe schon reichlich dazu gegoogelt, leider finde ich nichts für mich passendes.

Folgende Aufgabe:

f: Z2 -> Z2

f((x,y)) = (x, x+y)


Wie weise ich hier Injektivität nach?

Normalerweise beweist man ja, f(x1) = f(x2) ⇒ x1=x2.

Wie geht dies hier?


Mein Ansatz:

(x1, x1+y1) = (x2, x2+y2)

Aber wie löse ich dies nun auf?

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(x1, x1+y1) = (x2, x2+y2) ist doch prima

==>  x1 = x2 und x1+y1 = x2+y2

(Denn Paare sind nur gleich, wenn sie in beiden

Komponenten übereinstimmen)

und wenn man die 1. Gleichung bei der 2. einsetzt

                         x1 + y1 = x1 + y2

 ==>                          y1 = y2

Also gilt   x1 = x2 und y1 = y2  und damit gilt

           (x1;x2) = (y1;y2)

also f Injektiv.

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Danke für deine schnelle Antwort!


Was du "handwerklich" machst ist mir soweit klar.

Habe jedoch noch nicht verstanden, warum du die 1. Gleichung einfach in die 2. einsetzen darfst.


Edit: Achso, du hast einfach erstmal ANGENOMMEN, dass x1=x2 gilt?

Nein, weil (x1, x1+y1) = (x2, x2+y2)

WEISS man, dass x1 = x2 sein muss.

(Gleichheit von Paaren !)

Ah, jetzt hab ich's verstanden, dankeschön!

Du hattest es oben ja auch schonmal explizit geschrieben.


Nächste Frage: Wie kann man dort denn surjektivität zeigen oder widerlegen?


Mein Ansatz:

(n,m) = (x,x+y)

Wir wissen wieder: n=x, also bleibt m = x+y?

Du musst zeigen:

zu jedem (n,m) gibt es (x,y) mit

(n,m) = f (x,y)  =  (x,x+y)

wie vorhin kann man denn sagen, es muss also gelten

n=x und m=x+y also y = m-x = m-n .

Also hast du: zu jedem Paar (n,m)

gilt f( n, m-n) = ( n,m).

Und da es für alle n,m auch ein m-n gibt,

ist damit die Surjektivität gezeigt.

(Das letzte ist wesentlich ; denn wäre etwa y = m:n

herausgekommen, so würde das ja nicht gelten, da

es für n=o kein  m:n gibt.

Super, dann war mein Ansatz ja richtig. Danke dir!

Verständnisfrage:

f: R\0 -> R x R

f(x,y) = (x*y, x/y)

Surjektivität:

x = xy

x= x/y


y=x/y

y²=x

y=Wurzel-x

? Kommt mir sehr komisch vor, wäre dann aber surjektiv?

Denn beide Werte lassen sich in R ja darstellen.


Müsste auch injektiv sein?

x1y1 = x2y2

x1/y1 = x2/y2

f: R\0 -> R x R

f(x,y) = (x*y, x/y)

So ist keine Abbildung definiert; denn der

Definitionsbereich ist ja R\0 , du hast also

nur ein x kein y ???

'tschuldigung, Tippfehler!

f: R x R\0 -> R x R

Ergibt sorum auch Sinn, denn durch Null dividieren ist ja keine gute Idee ;)

Ist nicht surjektiv. Versuche mal x, y so

zu wählen, dass ( 1 ; -1 ) als Ergebnis rauskommt !

Das mache ich direkt!

Frage: Was ist an meinem Rechnenweg zu "ist surjektiv" dann falsch? Es sollte mir ja dort schon aufgefallen sein.

Dass man aus negativen Zahlen

keine reelle Wurzel ziehen kann !

Also nun hab ich mich irgendwo verhaspelt.

Passt denn mein Ansatz für die Injektivität?


Nochmal zu surjektiv:

n = x*y | :y

ny=x, somit gibt's schonmal den x-Wert.


n = x/y | *y

ny = x


Passt doch? Irgendwas muss falsch sein...

Nochmal zu surjektiv:

n = x*y | :y

ny=x, somit gibt's schonmal den x-Wert.

NUR, WENN y≠0.

Ah, ja das ist natürlich logisch! War aber davon ausgegangen, dass müsse ohnehin immer gelten? Denn lt. Definitionsbereich ist die 0 ja für y gar nicht möglich?

Ist mein Ansatz ansonsten denn soweit korrekt?

Habe die Aufgabe noch nicht für mich zufriedenstellend gelöst.

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