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Aufgabe 5
Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität:
(i) \( f_{1}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} ;(x, y) \mapsto x+y \).
(ii) \( f_{2}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} ;(x, y) \mapsto(x-2 y, 2 x+y) \).
(iii) \( f_{3}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} ;(x, y) \mapsto\left(x^{2}, x+y, y\right) \).
(iv) \( f_{4}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} ;(x, y) \mapsto x^{2}+y^{2}-2 \).

Aufgabe:

Hey also geht um Injektivität und Surjektivität, Aufgabe ist am Bild beschrieben.


Problem/Ansatz:

Hab paar Yt erklär videos gesehen und habs leider ned ganz verstanden, bin auch etwas verwirrt was R hoch 2 heißt und warum nicht - oder + und was bei den R die Pfeile bedeuten. Vielleicht könnts mir wer anhand eines der Beispiele vom Bild erklären.

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Deine Fragen sind etwas verwirrend: Du fragst nach grundlegenden Bezeichnungen, habt Ihr die nicht im Lehrbetrieb besprochen. Machst Du irgendwie ein Hobby-Studium?

habe im Sommersemester angefangen ,deswegen gibts leider zu diesem Modul die Vorlesung erst im Wintersemester... und nein ist kein Hobbystudium aber sowas haben wir in der Hak nichteinmal gelernt.

2 Antworten

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Beste Antwort

\( f_{1}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} ;(x, y) \mapsto x+y \)

Das "hoch 2" bei dem R bedeutet: Paare von reellen Zahlen werden betrachtet.

R2 ist die Menge aller dieser Paare.

Jedem Paar wird eine reelle Zahl zugeordnet (Das sagt der Pfeil.)

und wie diese Zuordnung funktioniert, das steht dahinter:

Z.B. dem Paar (3;5) wird die 8 zugeordnet (eben 3+5).

Und diese Abbildung (Zuordnung) ist surjektiv, denn jede reelle Zahl lässt

sich auf diese Weise erreichen.

Injektiv ist das nicht; denn ein und dieselbe Zahl wird durch verschiedene

Paare erreicht, die 8 z.B. auch durch (2;6).

Avatar von 289 k 🚀
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keine Gewähr:

(iii)

nicht surjektiv, denn z.B. (-1,0,0) hat kein Urbild

scheint mir injektiv zu sein, denn wenn

(x2, x+y,y)=(a2, a+b,b) aus x2 = a2 folgt, dass x=a sein sollte und aus y=b (3.Komponent) folgt, dass x nicht -a sein kann und a nicht -x.

Dann sollte gelten (x,y) = (a,b) (habe jedenfalls kein Gegenbsp. gefunden) (Bitte korrigieren, wenn falsch)

(iv) nicht injektiv, betrachte

f((1,1))=f((-1,-1))=0

aber (1,1) ist nicht gleich (-1,-1)

und nicht surjektiv, denn eine Zahl, die kleiner als -2 ist, hat kein Urbild, da wegen der Quadratvariablen die Funktion größer gleich -2 ist. Z.B. hat -3 kein Urbild.

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