Konvergenz der Reihe sum 1/(n*^n√n) bestimmen

Question

Konvergenz dieser Reihe prüfen:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{n} \sqrt{n}} \)

Answer 1

man zeigt leicht per Induktion, dass für alle \(n>0\) gilt \(n<2^n\). Es folgt \(\sqrt[n]{n}<2\) und schließlich \(n\sqrt[n]{n}<2n\). Daher divergiert die Reihe, da die harmonische Reihe divergiert.

Comments

Wurzel- und Quotientenkriterium bringen einen hier übrigens nicht weiter, weshalb man als "Anfänger" vielleicht etwas länger braucht.

Die gute Erklärung in der Antwort ist eine Anwendung des sogenannten Majorantenkriteriums. Im Allgemeinen wichtiger als die Namen ist natürlich das Verständnis :).

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Hallo :) danke für eure Antworten ! versteh ich das jetzt richtig so dass ich eigentlich nur mittels vollständiger Induktion n < 2^n zeigen muss und der rest wird einfach "schlussgefolgert" ?


ja drinc da hast du recht es ist für mich als anfänger schon noch ein bissi schwer bei den ganzen Kriterien mich halbwegs auszukennen .

danke euch ! lg

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Die Divergenz der harmonischen Reihe als bekannt vorausgesetzt, sollte das ausreichen.

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Hi die harmonische Reihe ist doch 1/n oder? was hat das damit zu tun ? lg

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Die harmonische Reihe \(\large\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1n\) divergiert.
Wie man leicht nachweist divergiert daher auch die Reihe \(\large\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{2n}\).
Wie oben gezeigt gilt \(\large n\sqrt[n]n<2n\).
Nach dem Majorantenkriterium divergiert demnach auch deine Reihe.