Aloha :)
Das charakteristische Polynom lautet:$$-\lambda^5+2\lambda^4+2\lambda^3-4\lambda^2-\lambda+2=0$$Es zerfällt vollständig in Linearfaktoren, was gut ist, denn sonst wäre die Matrix nicht diagonalisierbar:$$-(\lambda+1)^2(\lambda-1)^2(\lambda-2)=0$$Wir haben also 3 Eigenwerte:$$\lambda_1=-1\quad;\quad\lambda_2=1\quad;\quad\lambda_3=2$$Die algebraische Vielfachheit von \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) ist \(2\), die von \(\lambda_3\) ist \(1\).Als Eigenvektoren bzw. Eigenräumen zu den Eigenwerten bekomme ich folgende.
Zum doppelten Eigenwert \(\lambda_1=-1\):$$\left(\,(1|3|0|0|0)^T\,,\,(-1|0|6|-3|3)^T\,\right)$$Zum doppelten Eigenwert \(\lambda_2=1\):$$\left(\,(1|1|0|0|0)^T\,,\,(-1|0|1|0|0)^T\,\right)$$Zum einfachen Eigenwert \(\lambda_3=2\):$$\left(\,(4|5|0|1|0)^T\,\right)$$Wichtig ist, dass die geometrische Vielfachheit des Eigenraums (Dimension des Eigenraums) mit der algebraischen Vielfachheit des jeweiligen Eigenwertes übereinstimmt, was hier der Fall ist. Die Matrix ist also diagonalisierbar.
Die diagonalisierende Matrix erhältst du, wenn du alle Eigenvektoren als Spalten in eine Matrix schreibst:$$S=\left(\begin{array}{r}1&-1&1&-1&4\\3&0&1&0&5\\0&6&0&1&0\\0&-3&0&0&1\\0&3&0&0&0\end{array}\right)$$
