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Aufgabe:

Berechnen Sie mithilfe der Vektorrechnung das Volumen der Pyramide, deren Grundfläche ein Fünfeck mit den Eckpunkten

A(3,0,2) B(1,2,2) C(-1,2,2) D(-3,0,2) E(0,-4,2) ist und dessen Spitze im Punkt S(0,0,6) liegt.



Problem/Ansatz:

Das Volumen für eine Pyramide habe ich durch \( \frac{1}{3} \) |a x b|*c

Wie komme ich auf die gesuchten Vektoren um mein Spatprodukt zu bilden?

Geht das über den Nullvektor (0,0,0) ?

Allerdings habe ich dann ja zu viele Punkte, denn jeder Punkt ABCDE wäre dann ein Vektor.

Und was soll ich mit der Spitze anfangen?


Vielen Dank im Voraus

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2 Antworten

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Die Grundfläche ist ein Trapez mit der Höhe 2 und im Abstand 2 zu xy-Ebene. Die Höhe ist h=4.(Das kann man bereits vorab an den gegebenen Punkten ablesenen. Die Grundfläche ist G= \( \frac{6+2}{2} \) ·2. Das Volumen ist \( \frac{1}{3} \) ·G·h.

Elementare Geometrie genügt.

Avatar von 123 k 🚀

Woher kommt die 6 in deiner Formel für die Grundseite?

Das ist die Läge der Strecke AD.

Und warum muss ich genau diese Strecke nehmen?

Das Fünfeck ist ja nicht gleichseitig... woher weiß ich dass diese Strecke die notwendige ist ? Ich könnte ja dann doch genau so die Strecke AC nehmen aber die ist nicht 6...

Entschuldige, meine Antwort geht von einem Trapez als Grundfläche aus. Die fünfte Ecke fügt dem noch ein Dreieck mit der Fläche 12 hinzu. Dann ist die Grundflache  G=20 und das Volumen V=80/3

Ja aber warum berechne ich die Länge mit AD und kann das nicht mit einem der anderen Vektoren wie z.B. AC oder AB machen?

Die Projektion der Grundfläche in die xy-Ebene sieht so aus:

blob.png

Sie liegt insgesamt überall auf dem Niveau z=2. S liegt über dem Ursprung auf dem Niveau z=6.

Tut mir Leid... aber deine Antworten geben mir keinen Rückschluss auf meine Fragen....weitergeholfen ist mir mit deinen Antworten leider nicht..... trotzdem vielen Dank!

Kannst du die Funfecksfläche G, die ich gezeichnet habe berechnen? Wenn ja, dann gilt V=G·4/3

Geht das auch irgendwie anders zu berechnen mithilfe der Vektorrechnung? Denn eine unregelmäßige Fünfecksfläche zu berechnen habe ich leider so nicht gelernt.....

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Also dann mal einen Versuch

blob.png

===> E'=(0,3,2)

G = sqrt(((E-E')⊗(D-E'))^2) - sqrt(((C-E')⊗(C-B))^2)/2

\(\small G= \sqrt{\left(\left(E - E' \right) \otimes \left(D - E' \right) \right)^{2}} - \frac{\sqrt{\left(\left(C - E' \right) \otimes \left(C - B \right) \right)^{2}}}{2}\)

G = 20

V = 1/3 *20 * 4

V = 26 2/3

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