invariante Unterräume bestimmen eines Operators A auf dem R²

Question

invariante Unterräume bestimmen eines Operators A auf dem R²

Aufgabe:

A=$ \begin{pmatrix} 2& -5 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} $

Problem/Ansatz:

Ich habe begonnen das charakteristische Polynom aufzustellen:

det (A-λI) = det ( $ \begin{pmatrix} 2& -5 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} $ - $ \begin{pmatrix} λ & 0 \\ 0 & λ \end{pmatrix} $ )

det (A-λI) = (λ-3) (λ+3)

Die Eigenwerte lauten also:

λ₁ = -3

λ₂ = +3

Die Eigenvektoren dazu lauten also:

(A-λ₁I)*x=0

$ \begin{pmatrix} -1 & -5 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $ --> $ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $

--> der erste Eigenvektor ist der Nullvektor? (aufgrund linearer Unabhängigkeit?)

(A-λ₂I)*x=0

$ \begin{pmatrix} 5 & -5 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} $ → $ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $

--> der zweite Eigenvektor ist der Nullvektor? (aufgrund linearer Unabhängigkeit?)

--> dim (U) = 0 ??

Gefragt 29 Mär 2019 von mathestudentin7

1 Antwort

EmNero · Answer 1 · 2019-03-29T20:31:03+0000

det (A-λI) = (λ-3) (λ+3)

Ich erhalte $ \det(A-\lambda I) = \lambda^2 + 1$

Also keine reellen Eigenwerte

der erste Eigenvektor ist der Nullvektor?

Der Nullvektor ist nie ein Eigenvektor!

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Du hast in der anderen Aufgabe schon gesehen: $ \{ 0 \} $ und $ \mathbb{R}^2 $ sind invariante Unterräume (hier ist $ V = \mathbb{R}^2 $ ).

Damit haben wir auch schon alle Untervektorräume der Dimension 0 und 2 abgehakt. Mehr gibt es von denen nämlich nicht. Gibt es 1-dimensionale invariante Untervektorräume?

Für $ U \le \mathbb{R}^2 $ mit $ \dim U = 1 $ schnapp dir mal eine Basis $ U = \langle v_1 \rangle $, d.h. $ U = \{ \lambda v_1 ~|~ \lambda \in \mathbb{R} \} $. Kann jetzt $ \tilde{A}(U) \subseteq U$ gelten? Nehmen wir uns einfach mal ein $ u \in U $ dann existiert ein $ \lambda \in \mathbb{R} $ mit $ u= \lambda v_1 $. Wann ist

$$ Au = A \lambda v_1 = \lambda A v_1 \in U ? $$

Natürlich, falls ein $ \mu \in \mathbb{R} $ mit

$$ \lambda A v_1 = \mu v_1 $$

existiert. Falls $ \lambda = 0 $ wähle einfach $ \mu = 0 $. Falls $ \lambda \neq 0 $ gilt:

$$ A v_1 = \frac{\mu}{\lambda} v_1 $$

Also ist $ \frac{\mu}{\lambda} $ ein reeller Eigenwert von $ A$. Was schließt du daraus?

invariante Unterräume bestimmen eines Operators A auf dem R²

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