Untervektorraum - invariante Unterräume- Endomorphismus

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum. Zeigen Sie, dass für einen Endomorphismus Φ: V → V die Unterräume ker(Φ^k) jeweils Φ-invariante Unterräume sind und ker(Φ^k) ⊆ ker(Φ^(k+1))für alle k ∈ N gilt.

Dass kern(Φ) ein Untervektorraum von V ist könnte ich beweisen aber das ist leider nicht die Aufgabe

Answer 1

Nach Definition ist U ein Φ-invarianter Unterraum falls $Φ(u) \in U$ für alle u aus U. In unserem fall ist U= ker(Φ^k).
Also sei $u \in ker(Φ^k)$, d.h. $\Phi^k(u)=0$, zu zeigen ist $\Phi(u)\in ker(\Phi^k)$, dies ist klar denn
$$\Phi^k((\Phi(u))=\Phi((\Phi^k(u))=\Phi(0)= 0.$$
Ausversehen haben wir auch die zweite Teilaufgabe gelöst, denn die linke Seite ist $\Phi^{k+1}(u)$.