Untervektorraum - invariante Unterräume - Beweise

Question

Aufgabe 1:

Sei T: V → V  linear, wobei V ein Vektorraum über einem Körper K ist.

Zeige, dass die folgenden Unterräume invariant bezüglich T sind:

•   {0}

•   V

•   Kern von T

•   Bild von T

Aufgabe 2:

Seien W_i mit i ∈ N T-invariante Unterräume eines Vektorraumes V.

Dann ist auch der Durchschnitt dieser Unterräume T-invariant.

Problem/Ansatz:

Definition: Ist wieder T: V → V ein Endomorphismus, dann heißt ein Untervektorraum U von V invariant unter  T oder kurz T-invariant, falls  T(U) ⊆ U gilt, das heißt, wenn für alle u ∈ U das Bild  T(u) ebenfalls in U liegt. Das Bild von U unter T ist dann also ein Untervektorraum von U.

Die trivialen Untervektorräume {0} und V, aber auch  ker T  und im T und alle Eigenräume von  T sind stets invariant unter T.

Wie kann ich jedoch Aufgabe 1 als Beweis formulieren? 

Wie kann ich bei Aufgabe 2 beginnen? 

Answer 1

Aufgabe 1

Da steckt eigentlich nicht viel dahinter:

- \( \{ 0 \} \): Wir möchten zeigen, dass \( T(\{ 0 \}) \subseteq \{ 0 \} \). Da \( T(0) = 0 \) (T ist linear) folgt offenbar \( T(\{ 0 \}) = \{ 0 \}\)

- \( V \): Warum gilt \( T(V) \subseteq V \)?

- \( \ker T \): Ich behaupte jetzt einfach mal \( T(\ker T) = \{ 0 \} \). Stimmt das? Gilt \( \{ 0 \} \subseteq \ker T \) ?

- \( \textrm{im } T \): Warum gilt \( T(\textrm{im } T) \subseteq \textrm{im } T \)? Wie ist das Bild überhaupt definiert?

Aufgabe 2

\( A \subseteq B \subseteq V \implies T(A) \subseteq T(B) \). Du musst jetzt zeigen

$$ T\left( \bigcap\limits_{i\in\mathbb{N}} W_i \right) \subseteq \bigcap\limits_{i\in\mathbb{N}} W_i $$

Bedenke, dass

$$ \forall n\in\mathbb{N} : \bigcap\limits_{i\in\mathbb{N}} W_i \subseteq W_n $$

Was kannst du daraus folgern?

Comments

Okay vielen Dank!

Aufgabe 1:

• {0} ist somit klar 

•  V

⇒ T(V) ⊆ V gilt, weil T: V → V abbildet und linear ist ??

•  Kern von T

aufgrund der Definition des Kerns gilt ja: f: V → W, v ∈ V : f(v) = 0 ∈ W

Def.: Abbildung ist die Menge der Vektoren aus  V, die durch  f auf den Nullvektor von  W abgebildet werden

⇒ und daher gilt: T(ker(T))= {0} und {0} ist laut Punkt 1 T({0}) = {0} ??

•  Bild von T 

Def.: Abbildung ist die Menge der Bildvektoren unter  f, also die Menge aller f(v) mit  v aus V

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Aufgabe 2:

Kann daraus schließen, dass der {0} drinnen liegt und alle W für i=0, 1, 2, ...

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•  V

⇒ T(V) ⊆ V gilt, weil T: V → V abbildet und linear ist ??

Die Linearität brauchst du hier gar nicht. \( T : V \rightarrow V \) bedeutet ja das T jedem Element von V ein Element in V zuordnet.

$$ T(V) =\{T(v)~|~v\in V\}$$

und da alle T(v) in V liegen, ist T(V) auch eine Teilmenge .von V.

aufgrund der Definition des Kerns gilt ja: f: V → W, v ∈ V : f(v) = 0 ∈ W

Was meinst du damit?

Def.: Abbildung ist die Menge der Vektoren aus  V, die durch  f auf den Nullvektor von  W abgebildet werden

Der Kern ist die Menge der ...

Also:

$$ T(\ker T) =\{T(v)~|~v\in \ker T\} = \{ 0 ~|~ v\in \ker T\} =\{0\}$$

und {0} ist laut Punkt 1 T({0}) = {0} ??

Ja, aber das bringt dich hier nicht wirklich weiter. Du möchtest ja zeigen, dass \( T(\ker T) \subseteq \ker T \) gilt. Also überlege warum \( \{0\} \subseteq \ker T\), dann gilt

$$ T(\ker T) =\{0\} \subseteq\ker T$$

•  Bild von T 

Def.: Abbildung ist die Menge der Bildvektoren unter  f, also die Menge aller f(v) mit  v aus V

Ja, aber auch hier "Das Bild ist die...". Wenn du einen Vektor v aus dem Bild nimmst, dann liegt dieser ja in V. Da T in V abbildet. Also ist T(v) doch wieder im Bild und somit

$$ T(\textrm{im }T)\subseteq \textrm{im }T$$

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Aufgabe 2:

Kann daraus schließen, dass der {0} drinnen liegt und alle W für i=0, 1, 2, ...

Verstehe ich nicht.

Man kann folgern, dass

$$\forall n\in\mathbb{N} : T\left(\bigcap\limits_{i\in\mathbb{N}} W_i \right) \subseteq T(W_n) \subseteq W_n$$

Und damit dann halt

$$T\left( \bigcap\limits_{i\in\mathbb{N}} W_i \right) \subseteq \bigcap\limits_{i\in\mathbb{N}} W_i $$

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Wie kann ich bei Aufgabe 2 daraus folgern, dass es zu jeder Teilmenge X aus V einen kleinsten invarianten unterraum U in V gibt, der X enthält?

Ist damit einfach U={0} gemeint?