Zeigen dass K= Q x Q ein Körper ist

Question

Wir betrachten die Menge K = ℚ×ℚ = ⟨(a,b)  Ι  a,b ∈ℚ⟩ mit den beiden Elementen

0 = (0,0) und 1 = (1,0),

der Addition   (a,b) +(c,d) := (a + c, b+d)

und der Multiplikaiton   (a,b) • (c,d) := (ac - bd, ad + bc).

 

Zeige, dass K mit diesen Operationen ein Körper ist. Zeige auch, dass die Gleichung x² = -1 in diesem Körper lösbar ist.

 

Ich brauche Hilfe hierbei. Wenn möglich mit Rechenweg.

 

Danke

Answer 1

Mit i:=(0,1) ist K Teilmenge der komplexen Zahlen und die hier definierte Addition und Multiplikation ist die der komplexen Zahlen.

Damit sind + und * schon additiv und die Inversen lassen sich wie in den komplexen Zahlen bilden.

Man sieht dann, dass diese bereits in K sind.

Und die Lösungen von x²=-1 sind die gleichen wie in den komplexen Zahlen.

Comments

Danek für deine Antwort.

Nur verstehe ich nicht, wie ich es mit der 0 = (0,0) und 1 = (1,0) machen soll. Wie soll ich diese z.B. in das Assoziativgesetz einsetzen.

Wäre schön, wenn du mir ein Beispiel nennen könntest.


Danke