Quadratische Funktion: Flächeninhalt bestimmen (Tisch mit Einlegearbeit)

Question

Ein Tisch vom Format \( 2 \times 2 \mathrm{m} \) soll entsprechend nebenstehender Skizze mit einer quadratisch angelegten Einlegearbeit verziert werden. Aus Kostengründen soll dieser Flächeninhalt möglichst klein werden.

a) Wie groß ist dieser Flächeninhalt mindestens?

b) Weisen Sie mathematisch-rechnerisch nach.

c) Skizzieren Sie die Tischplatte mit der kostengünstigsten Einlegearbeit.

Answer 1

Hi Nedaim, 

 

der Tisch hat die Maße 2 m * 2 m, also einen Flächeninhalt von 4 m².

Die Einlegearbeit besteht aus 2 Quadraten. 

Das eine Quadrat hat die Maße x * x

Das andere Quadrat hat die Maße y * y

Du siehst aber, dass sich x + y zu 2 ergänzen, ja?

Also x + y = 2 bzw. x = 2 - y

Dies können wir in die Maße des 1. Quadrats einsetzen und erhalten dann als Summe der Quadrate: 

(2 - y) * (2 - y) + y²

f(y) = 4 - 4y + y² + y² = 2y² - 4y + 4

1. Ableitung = 0 setzen, notwendige Bedingung für ein Extremum

f'(y) = 4y - 4 = 0

4y - 4 = 0

4y = 4

y = 1

x = 2 - y = 2 - 1 = 1

Zweite Ableitung bilden, um sicherzustellen, dass es sich wirklich um ein Minimum handelt, hinreichende Bedingung für ein Extremum: f''(y) ≠ 0

f''(y) = 4 > 0, also Minimum. 

Also müssen die beiden Quadrate jeweils die Seitenlänge 1 m haben. 

Die gesamte Einlegearbeit ist dann 2 m² groß, 2 m² des Tisches bleiben "kahl". 

 

Besten Gruß