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Aufgabe:

Moin, ich habe die Punkte A(3,2|4) zum Zeitpunkt t=2, B(6,4|6,1) zum Zeitpunkt t=4 und C(11,2|7,375) zum Zeitpunkt t=7. Es handelt sich um die Wurfparabel eines Balls, die x-Achse ist die Tischplatte. Die Gleichung konnte ich mithilfe der drei Punkte lösen, sie lautet: f(x)= -0,049x2+1,125x+0,9

Gesucht ist nun die Aufprallgeschwindigkeit des Balls auf den Tisch (x-Achse).

Problem/Ansatz:

Habe zuerst die Nullstelle berechnet (die mit negativem Vorzeichen ist ja irrelevant, wir betrachten nur den ersten Quadranten). Mithilfe dieser Stelle bzw. des Punktes kann ich die Steigung an dem Punkt berechnen. Nun weiß ich leider nicht mehr weiter. Kann man den Geschwindigkeitsvektor vielleicht in seine Komponenten zerlegen und mithilfe dieser dann auf den Geschwindigkeitsvektor kommen? Dann müsste ich nur den Betrag bilden und hätte die Aufprallgeschwindigkeit. Nur weiß ich leider nicht, wie ich auf die Komponenten komme. Und kann mir die Steigung irgendwie weiterhelfen?

Vielen Dank im Voraus.

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Anstatt des unnötig gerundeten -0,049 würde ich \(-\frac{25}{512} \) verwenden.

Ich komme auf eine Geschwindigkeit von etwa 2,5 denn die Horizontalgeschwindigkeit beträgt 1,6 und die erste Ableitung an der Nullstelle von f(x) ist ca. -1,2 und 1,6 / cos(arctan(-1,2)) ≈ 2,5

Okay, danke. Ist auch besser ;)

Ob es hier überhaupt um m/s geht wie anderswo auf dieser Seite geschrieben worden ist, steht nicht explizit im Aufgabentext.

Man kann sich überlegen, dass die horizontale Distanz zwischen Hochpunkt und Nullstelle bei einer horizontalen Geschwindigkeit von 1,6 LE/ZE in ca. 7,6837 ZE zurückgelegt wird. In dieser Zeitdauer fällt der Ball um 7,38 LE in vertikaler Richtung, beginnend mit einer Vertikalgeschwindigkeit von 0, weil Hochpunkt. Nach der Formel für eine gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung von s = 1/2 a t^2 ergibt sich eine Beschleunigung von 0,25 was doch sehr verschieden von Erdanziehung 9,81 m/s^2 ist.

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Aloha :)

Die Darstellung \(y(x)\) hilft dir nicht weiter, sie ist übrigens auch falsch. Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Ortes nach der Zeit. Daher brauchst du die \(x\)- und die \(y\)-Koordinate jeweils in Abhängigkeit von der Zeit \(t\).

Aus den x-Koordinaten der Punkte entnehmen wir:$$x(t=2)=3,2\quad;\quad x(t=4)=6,4\quad;\quad x(t=7)=11,2$$Sie liegen alle auf der Geraden:$$x(t)=\frac85\cdot t$$

Aus den y-Koordinaten der Punkte entnehmen wir:$$y(t=2)=4\quad;\quad y(t=4)=6,1\quad;\quad y(t=7)=7,375$$Sie liegen alle aur einer Parabel:$$y(t)=-\frac18\cdot t^2+\frac95\cdot t+\frac{9}{10}$$

Zum Zeitpunkt \(t\) befindet der Ball also an der Position:$$\vec r(t)=\binom{x(t)}{y(t)}=\left(\begin{array}{c}\frac85\cdot t\\[1ex]-\frac18\cdot t^2+\frac95\cdot t+\frac{9}{10}\end{array}\right)$$

Die \(y\)-Koordinate hat zwei Nullstellen:$$t_{1;2}=\frac{36\pm6\sqrt{41}}{5}\implies t_1\approx-0,483749\quad;\quad t_2\approx14,883749$$Der Ball trifft also zum Zeitpunkt \(t_2\) auf die Tischplatte.

Die Geschwindigkeit am Auftreffpunkt ist nun:$$v=\left\|\frac{d}{dt}\vec r(t_2)\right\|=\left\|\left(\begin{array}{c}\frac85\\[1ex]-\frac14\cdot t_2+\frac95\end{array}\right)\right\|=\left\|\left(\begin{array}{c}1,6\\[1ex]-1,92093725\end{array}\right)\right\|$$$$\phantom v=\sqrt{1,6^2+(-1,92093725)^2}\approx\sqrt{6,25}=2,5$$

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Das Ganze spielt doch in einer Ebene, die hier die xy-Ebene ist. In der liegt auch der

Geschwindigkeitsvektor. Ich denke, dass dann die Steigung in dem Punkt

genau die Aufprallgeschwindigkeit ist.

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Ich denke, dass dann die Steigung in dem Punkt genau die Aufprallgeschwindigkeit ist.

Denke lieber nochmal neu. Ein Geschwindigkeitsverhältnis ist keine Geschwindigkeit.
Hilfe dafür : Es ergibt sich (vorbehaltlich einer handelsüblichen Tischgröße) eine Geschwindigkeit von etwa 1,566 m/s

Und wie genau bist du auf die 1,556 m/s gekommen, Gast hj2166?

Es ergibt sich (vorbehaltlich einer handelsüblichen Tischgröße) eine Geschwindigkeit von etwa 1,566 m/s

Da denke lieber nochmal neu nach, was man unter "Geschwindigkeit" versteht.

Leite ich den Ort nach der Zeit ab, bekomme ich die Geschwindigkeit. Aber meine Funktion ist ja in Abhängigkeit von x, der des Ortes und nicht der Zeit

1. Mgl. : Mit Berechnung der Zeit
Berechne die Fallzeit vom höchsten Punkt der Bahn bis zum Tisch, daraus die Geschwindigkeit in x-Richtung und die in y-Richtung beim Aufprall.

2.Mgl. : Ohne Berechnung der Zeit
Löse x = vx·t nach t auf, setze bei y = -g/2·t^2 + vy0·t +y0 ein und mache einen Koeffizientenvergleich mit deiner y = f(x)-Funktion.

Die gesuchte Geschwindigkeit ist v = √(vx^2 + vy^2)
Probe : die Steigung an dem Punkt ist vy / vx.

@WS : Nachdem ich hier vergeblich für eine korrekte Benutzung gestritten habe, glaube ich allerdings in diesem Fall mit meiner Rechnung richtig zu liegen.

... glaube ich allerdings in diesem Fall mit meiner Rechnung richtig zu liegen.

Ich glaub' das nicht, dazu ist das Ergebnis zu 'glatt'!


@Cpt.Tennis:

Leite ich den Ort nach der Zeit ab, bekomme ich die Geschwindigkeit.

das ist genau richtig.

Aber meine Funktion ist ja in Abhängigkeit von x, der des Ortes und nicht der Zeit

gut erkannt. Also stelle die Terme für die horizontale (in x) und vertikale (in y) Bewegung in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) auf. Ich bekomme:$$s\left(t\right)=\frac{1}{40}\left(64t,-5t^{2}+72t+36\right)$$Wenn Du für \(t\) dort die Werte 2, 4 und 7 einsetzt, sollten die Koordinaten der Punkte A, B und C heraus kommen.

Berechne zunächst den Zeitpunkt \(t_0 \gt t=2\), zu dem die Y-Koordinate zu 0 wird, also der (punktförmige) Ball auf der Tischplatte aufkommt. Ich habe$$t_{0}=\frac{36+6\sqrt{41}}{5}$$Dann noch den Weg \(s\) nach der Zeit \(t\) ableiten gibt die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt \(t\)$$\dot s(t) = \frac{1}{40}\left(64,-10t+72\right) = \frac{1}{20}\left(32,-5t+36\right)$$Und dann setzt Du dort für \(t\) das \(t_0\) ein und berechnest den Betrag(!) dieses Geschwindigkeitsvektors. Ich habe (exakt) \(2,5\).

Die Längen- und Zeiteinheit ist übrigens nicht Meter und Sekunde! Es sei denn die Tischplatte befindet sich auf einem deutlich kleineren Himmelskörper als die Erde einer ist ;-)

Falls noch Fragen offen sind, so melde Dich bitte.

Tut mir leid wegen meiner falschen Lösung, zu der ich gekommen war, weil ich die Angabe über die Zeitpunkte völlig überlesen und die dadurch fehlende Information stattdessen durch g = 9,81 m/s^2 ergänzt hatte.

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Zunächst mal sind sowohl die Längenangaben als auch die Zeitangaben sicher in keiner sinnvollen Einheit gegeben.

~plot~  -0.049x^2+1.125x+0.9;[[0|24|0|18]] ~plot~

Für eine Tischtennisplatte konnte man 1 LE = 0.1 m setzen

Weiterhin ist es ungünstig eine Funktion der Form y(x) zu nehmen, sondern zwei Funktionen in Abhängigkeit von der Zeit.

Wenn ich dann mit der Maßangabe von oben und einer von mir gewählten Zeiteinheit ausgehe, wobei ich einbeziehe, dass der Sachverhalt sich auf der Erde bei (g = 10 m/s²) abspielt, komme ich auf eine Ballgeschwindigkeit von 5 m/s = 18 km/h beim Auftreffen.

Wobei ich mich natürlich auch verrechnet haben kann. Aber zunächst klingt mir mein Ergebnis auch sinnvoll.

Ich war jetzt hier im Anwendungskontext eben von einem Tischtennisspiel ausgegangen und nicht von einem Spiel wie Bierpong.

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