Aufgabe:
Behauptung:Für zwei ganze Zahlen u, v mit v > u erhält man durch a = v² – u² b = 2uv c = v² + u²pythagoreisches Zahlentripel
Die Behauptung soll allgemein bewiesen werden.
Allein der Anblick macht mich ratlos. Beweise konnte ich bisher nur mit Hilfe erstellen. Dies ist mir zu neu und schwer.
Wie wird so etwas gemacht?
https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Tripel#Beweis_der_Identit%C3%A4t
Es gilt c2 - a2 = (c - a)(c + a) = 2u2·2v2 = 4u2v2 = (2uv)2 = b2.
Kannst auch einfach alles einsetzen in a^2 + b^2 = c^2
dann bekommst du
u^4 + 2u^2 *v^2 +u^4 = ( v² + u²)^2
was offenbar stimmt.
Das sieht doch überschaubar aus. Mal sehen, ob ich das nachmachen kann.
Euklid hat zunächst die Schnittpunkte von Einheitskreis (1) x2+y2=1 und Gerade (2) y=\( \frac{m}{n} \) ·(x+1) bestimmt. Das sind P0(-1|0) und P1(\( \frac{n ^2-m^2}{n^2+m^2} \) |\( \frac{2mn}{m^2+n^2} \)). Nun kann man setzen: x=\( \frac{a}{c} \) und y=\( \frac{b}{c} \). Dann wird nach Einsetzen und etwas Umformung (1) zu a2+b2=c2 und (x|y) =(\( \frac{n ^2-m^2}{n^2+m^2} \) |\( \frac{2mn}{m^2+n^2} \)). x=\( \frac{a}{c} \) und y=\( \frac{b}{c} \) einsetzen. Jetzt ist auch klar, was a, b und c sein sollen.
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