Vorgehensweise bei Lösung von DGL mittels LaPlace-Transformation

Question

Darf ich dich -Grosser Löwe-  nochmal um Hilfe bitten bei einem anderen Problem? Ich muss mir zum Thema DGL noch die Lösungsmöglichkeit mittels LaPlace-Transformation beibringen.

Unser Prof. hat für die gesamten geforderten Arten von DGL nur eine Stunde vorgetragen und somit weiß ich eigentlich überhaupt nicht, was ich bei LaPlace zu tun habe. Mit den Büchern komme ich nicht so recht klar.



Könntest du mit das mal detailliert zeigen? Wie muss ich vorgehen, auf was achten usw?

Ich habe fünf Aufgaben. Ich würde sie hier mal einbringen:

y''-y= 8e3t    y(0)=1, y'(0)=5

x''(t)+2x'(t)+5x(t)=0    x(0)=10, x'(0)=0

du/dt+(1/RC)*u(t)=0    u(0)=U0

(d2/dt2)*q+(1/LC)*q=0    q(0)=q0, dq(0)/dt=I0

y''(t)-y'(t)=8e3t    y(0)=1, y'(0)=5



Vielen Dank für deine Hilfe!!

Answer 1

y'' -y=8 e^(3t)

1 .Aus dem Differentationssatz (siehe Vorlesung) folgt:

y= F(s)

y '= -y(0) +s F(s)

y'' = - s y(0) -y'(0) +s^2 F(s)

------->mit AWB:

2.Einsetzen in die DGL

-s -5 +s^2 F(s) -F(s)= LT (8 e^(3t)  in geschweiften Klammern schreiben

F(s) (s^2 -1)-s-5  =8/(s-3) (rechte Seite aus Tabelle )

3.nach F(s) auflösen :

F(s)= (s^2 +2s-7)/((s-3)(s^2-1))

dann  Partialbruchzerlegung

F(s)= 1/(s-3) +1/(s-1) - 1/(s+1)

4.dann Rücktransformation (Tabelle)

Ergebnis:

y= -e^(-t) +e^(t) +e^(3t)

Comments

Ich komme bis zu dem Punkt F(s) (s2 -1) =8/(s-3) (rechte Seite aus Tabelle ) klar. Das aus der Tabelle hab ich auch, nur was passiert mit der linken Seite? -s-5??

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Du addierst +s +5 und dividierst dann durch s^2-1 und vereinfachst.

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tut mir echt leid.. Aber ich bekomme das auflösen nach F(s) nicht hin.. Ich erhalte da einen langen Term mit s^4 usw..

Das sollte doch mit normaler Erweiterung (auf einen Nenner bringen) funktionieren, oder?

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F(s) (s^2-1)= 8/(s-3) +s +5 ------->Hauptnenner rechte Seite bilden

F(s) (s^2-1) = (8 +s(s-3) +5(s-3))/(s-3)

F(s) (s^2-1)= (s^2+2s-7)/(s-3)

F(s)= (s^2+2s-7)/(s^2-1)(s-3)

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Die erste und die zweite konnte ich lösen. Nun hänge ich bei der dritten:

du/dt+(1/RC)*u(t)=0    u(0)=U0

Ich habe für U(s)=U0/(s+(1/RC)) heraus. Nun weiß ich aber nicht weiter.. :-/

Muss ich jetzt nur noch Rücktransformieren??

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Hab jetzt einfach mal Rücktransformiert..  und das Ergebnis stimmt sogar.. :-)

u(t)=U0*e^((-1/RC)t)

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So Grosser Löwe.. Jetzt brauch ich aber wieder deine Hilfe! Bitte... :-)

4. Aufgabe: (d2/dt2)*q+(1/LC)*q=0    q(0)=q0, dq(0)/dt=I0

Ich bekomme aufgelöst nach F(s) = (sq0+I0)/(s^2+(1/LC)) heraus. Ich würde jetzt von meiner Seite sagen, dass das so passt.

nun über Mitternacht s1 und s2 ermitteln.

s1=\( \sqrt{-4+(1/LC)} \)

s2= - \( \sqrt{-4+(1/LC)} \)

und anschließend in Linearfaktoren zerlegen bzw. Partialbruchzerlegung. Wie bekomme ich denn hier heraus was für Nullstellen vorhanden sind? Ich hab ja keine Werte um die Diskriminante zu befüllen. Wie mache ich denn das jetzt?

Bin ich überhaupt noch auf dem richtigen Weg? Oder wo bin ich abgekommen?

Danke dir!

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meine Berechnung: