Wie erkennt man ein VZW Extremwerte

Question

Ich habe eine Funktion und die erste Ableitung. Bei der notwendigen Bedingung ist x=0 rausgekommen.

Nun setze ich beim VZW -1 und 1 als x0

Und diese beiden Zahlen dann für die erste Ableitung

Bei -1 erhalte ich -0,5 (kein wechsel)

Bei 1 erhalte ich -1,5 (ein wechsel)

Wie erkenne ich jetzt ob da ein vorzeichenwechsel ist ,da sich nur bei einem was geändert hat?

Comments

Es ist einfacher wenn du die Funktion nennst. Und du darfst nicht einfach -1 und 1 einsetzen. Zumindest nicht wenn dazwischen ein anderer Extrempunkt oder eine Definitionslücke ist.

Nullstellen mit und ohne VZW erkennt man eigentlich sehr einfach an der Vielfachheit der Nullstelle.

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Ok die Funktion lautet f(x)= -1/8x^4 -1/3x^3  +1

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Ja du hast recht es muss ja im Bereich zwischen den beiden Nullstellen sein. Müsste eigentlich in dem Fall funktionieren

Answer 1

Extrempunkte f'(x) = 0

-1/2·x^3 - x^2 = -1/2·x^3 - x^2 = -1/2·x^2·(x + 2) = 0 → x = -2 ∨ x = 0 (2-fach)

Da 0 hier eine doppelte Nullstelle ist, hat man hier einen Sattelpunkt und keinen Extrempunkt.

f(-2) = 5/3 = 1.667 → HP(-2 | 1.667)

f(0) = 1 → SP(0 | 1)

Comments

Was hast du in der erste Ableitung für zahlen eingesetzt ?

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Ich brauchte in die erste Ableitung keine Werte einsetzen, da ich auch so die doppelte Nullstelle an dem Quadrat erkenne.

Ob (-2 | 1.667) ein Hoch oder Tiefpunkt ist erkennt man an der Lage bezüglich des Punktes (0 | 1). Da (-2 | 1.667) die höhere Y-Koordinate hat ist (-2 | 1.667) also ein Hochpunkt.

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Kannst du das mit 2 Zahlen die einmal kleiner als 0 und größer als 0 sind. Ich wollte nur wissen ,wann ein vorzeichenwechsel vorliegt. Es ändert sich ja nur 1 Vorzeichen wenn man eine Zahl größer als 0 einsetzt.

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Ah. Ich glaube ich weiß wo dein Problem liegt. Du probierst beide Werte zu interpretieren

f(-1) = -0.5

f(1) = -1.5

Da wir vor und nach der Nullstelle einen negativen Wert haben ist es ein Sattelpunkt und zwar ein Sattelpunkt eines Intervalls, welches streng mononton fallend ist.

f(-3) = 4.5

f(-1) = -0.5

Bei -2 hat man eine Nullstelle mit VZW von + nach -. Damit ist dies ein Hochpunkt

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Danke jetzt wird mir vieles klarer.Was ist wenn ich 2 Postive Zahlen rausbekomme ? ist das auch ein Sattelpunkt ?

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Ja. Das wäre ja dann auch ohne Vorzeichenwechsel. Du vergleichst also die Werte rechts und links der Nullstelle der Ableitung.

So erkennt man ob das eine Nullstelle mit oder ohne Vorzeichenwechsel ist und wie das Steigungsverhalten vor und nach dem Punkt mit horizontaler Tangente ist.

Answer 2

für die erste Ableitung

Die gibt die Steigung der Funktion an.

Ob eine (differenzierbare) Funktion steigt oder fällt, kann sich nur an Nullstellen der Ableitung ändern.

Du hast 0 also einzige Nullstelle der Ableitung ermittelt.

Bei -1 erhalte ich -0,5

Das heißt an der Stelle -1 fällt die Funtkion. Weil sich dass Fallen erst bei 0 ändern kann (einzige Nullstelle der ABleitung) fällt die Funktion im gesamten Bereich -∞ bis 0.

Bei 1 erhalte ich -1,5

Das heißt an der Stelle 1 fällt die Funtkion auch. Weil sich dass Fallen erst bei 0 ändern kann (einzige Nullstelle der Ableitung) fällt die Funktion im gesamten Bereich 0 bis ∞.

Also ist die Funktion streng monoton fallend und bei 0 ist kein Extrempunkt.

Ok die Funktion lautet f(x)= -1/8x⁴ -1/3x³ + 1

Irgendwo hast du dich verrechnet, die Funktion hat auf jeden Fall einen Hochpunkt.

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Ah ok. Was ist wenn in dem Fall bei 1 ein postiver Wert rausgekommen wäre. Wäre das ein indiz für Extremstellen ?

In meinem buch steht was von einem Sattelpunkt für die Funktion