Eigenwerte von linearen Abbildungen und diagonalisierbar

Question

Aufgabe:

(a)  Seien K ein Körper,V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und φ∈End K(V) derart, dass φ^2=φ gilt.

Bestimmen Sie die Eigenwerte von φ.

(b)  Sei A∈R^2×2 gegeben durch A=(a b

                                                          b a).

Zeigen Sie, dass A diagonalisierbar ist. Gilt diese Aussage auch in beliebigen Körpern K?

Problem/Ansatz:

wie kann ich die aufgabe lösen

Comments

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Answer 1

a) Sei k ein Eigenwert von φ .

Dann gibt es ein v≠0 mit  φ(v)=k*v

also auch φ²(v) =φ (φ(v) )  =φ (k*v) = k*φ(v) = k*k*v

Wegen φ^2=φ also

 k*v = k^2*v

v = (k^2 - k) * v

wegen v≠0 also k^2 - k = 0

             <=>  k*(k-1) = 0

            <=> k=0 ∨ k=1

b) det ( A - x*E) = (a-x)^2 - b^2

Das ist Null wenn gilt   (a-x)^2 = b^2

                           a-x=b oder a-x=-b

           ==>    x=a-b ∨  x=a+b

gibt (falls nicht b=0 ist, dann ist es aber eh schon diagonal)

zwei verschiedene Eigenwerte  also diagonalisierbar.