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Bild Mathematik

Hey ihr lieben,
versuche gerade den aus krankheitlichen Gründen verpassten Unistoff nach zuarbeiten, doch komme ich bei dieser Aufgabe überhaupt nicht weiter und sinnvolle ansätze habe ich auch nicht zustande bekommen. Wäre für jede Hilfe sehr dankbar.

Lg Sabrina
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Hi,

die Eigenwerte sind \( 0 , 3 \text { und } \alpha \). Ist \( \alpha \notin \{0,3\}\) dann hat man drei verschiedene Eigenwerte und die Matrix ist diagonalisierbar.

\( A_0 \) hat den einfachen Eigenwert \( 3 \) und den zweifachen Eigenwert \( 0 \). Zum EW \( 3 \) gibt es nur einen l.u. EV, z.B \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \)
Zum EW \( 0 \) gibt es zwei l.u. EV. Also stimmen algebraische Vielfachheit und geometrische überein und somit ist \( A_0 \) diagonalisierbar.

\( A_3 \) hat die Eigenwerte \( 3 \) zweifach und \( 0 \) einfach. Zum Eigenwert \( 3 \) gibt es aber nur einen l.u. EV, also ist \( A_3 \) nicht diagonalisierbar.

Die Spalten der Transformationsmatrix für ( A_0 \) besteht aus den EV, z.B.
$$ \begin{pmatrix}  0 & 1&-4 \\ 0 & 0&1 \\ 1&0&0\end{pmatrix} $$
Damit ergibt sich eine Diagonalmatrix von $$ \begin{pmatrix}  0 & 0&0 \\ 0 & 3&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix} $$ und es gilt $$ e^{A_0} = \begin{pmatrix}  e^3 & 4e^3-4&0 \\ 0 & 1&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}  $$

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