Rechenregel für Adjunkte zeigen

Question

Aufgabe:

Ich zwei reguläre Matrizen $$ A,B∈GL(n;\mathbb{K}), n≥2 $$ und $$ \widetilde{S} $$ die Adjunkte der Matrix $$ S\in M(n,n,\mathbb{K}) $$

Nun will ich folgende Gleichheit zeigen:$$ \widetilde{A\cdot B}=\widetilde{B}\cdot \widetilde{A} $$

Ich bin bisher soweit gekommen. Ich mache es koeffizientenweise:

$$ \widetilde{A}=(\widetilde{a}_{ji}) \qquad \widetilde{B}=(\widetilde{b}_{kj}) $$

$$ (\widetilde{B}\cdot \widetilde{A})_{ki}=\sum_{j=1}^n \widetilde{b}_{kj}\cdot \widetilde{a}_{ji}=\sum_{j=1}^n (-1)^{k+j}\cdot \det(B_k^j)\cdot (-1)^{j+i}\cdot \det(A_j^i)\\=\sum_{j=1}^n (-1)^{k+i}\cdot \det(B_k^j)\cdot \det(A_j^i) $$

Aber ab hier hab ich keine Idee mehr, bzw. weiß ich auch nicht wie man von $$  \widetilde{A\cdot B} $$ losstarten könnte.

Answer 1

Wenn ihr den Zusammenhang zwischen Adjunkten und inverser Matrix hattet

(statt der Schlange schreibe ich mal adj(…)   )

dann ist es einfach:

A^(-1) = ( 1 / det(A) )   *  adj(A)

==>   adj(A) = det(A) * A^(-1)

Also gilt

adj(A*B) = det(A*B) * (A*B)^(-1)

             = det(A)*det(B) * B^(-1) *A^(-1)

            = det(B) * B^(-1) *det(A) *A^(-1)

             = adj(B) * adj(A)

Comments

Ja, das kenn ich zwar auch, aber ich bin leider nicht selbst drauf gekommen, einfach mal A*B einzusetzen.