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Wie könnte man diese Gleichung per Hand lösen?
x4 - 5x2 + 4 = 0

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das geht mithilfe der Substitution:


x4 - 5x2 + 4 = 0

Substituiere t = x2

t2 - 5t + 4 = 0

löse zB mit PQ-Formel:

t1 = 4, t2 = 1

Rücksubstituieren:
x2 = 4
x1 = 2, x2 = -2
x2 = 1
x3 = 1, x4 = -1

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oder mit Vieta:

z2-5z+4=0

(z-1)(z-4)=0

...

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x4 - 5x2 + 4 = 0

Direkt faktorisieren mit Vieta geht hier auch. 1*4 = 4 und (-1) + (-4) = -5

(x2 - 4)(x2 -1) = 0        | 3. binomische Formel

(x-2)(x+2)(x-1)(x+1) = 0

Lösungsmenge ablesen

L = {-2, -1, 1, 2} 

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Substituiere x²=z, löse die quadratische Gleichung und mache die Rücksubstitution.

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Lösung ohne Substitution:

x45x2+4=0x^4 - 5x^2 + 4 = 0

x45x2=4x^4 - 5x^2 = -4

(x22,5)2=4+6,25=2,25  (x^2 - 2,5)^2 = -4+6,25=2,25 | \sqrt{~~}

1.)x22,5=1,5x^2 - 2,5 = 1,5

x=2x₁= 2     ∨     x=2x₂= -2

2.)x22,5=1,5x^2 - 2,5 = -1,5

x=1x₃= 1    ∨    x=1x₄= -1

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Lösung ohne Schnickschnack:

x45x2+4=0(x2)2(1+4)x2+14=0(x21)(x24)=0(x+2)(x+1)(x1)(x2)=0x=2x=1x=1x=2\begin{aligned} x^4 - 5x^2 + 4 &= 0 \\ (x^2)^2 - (1+4)\cdot x^2 + 1\cdot 4 &= 0 \\ (x^2-1)\cdot (x^2-4) &= 0 \\ (x+2)\cdot (x+1)\cdot (x-1)\cdot (x-2) &= 0 \\ x=-2 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=1 \quad&\lor\quad x=2 \end{aligned} (Die Frage ist fast vier Jahre alt, hat aber irgendwie überlebt...)

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