Gleichung mit x4 lösen? x4 - 5x2 + 4 = 0

Question

Wie könnte man diese Gleichung per Hand lösen?
x⁴ - 5x² + 4 = 0

Answer 1

das geht mithilfe der Substitution:

x⁴ - 5x² + 4 = 0

Substituiere t = x²

t² - 5t + 4 = 0

löse zB mit PQ-Formel:

t₁ = 4, t₂ = 1

Rücksubstituieren:
x² = 4
x₁ = 2, x₂ = -2
x² = 1
x₃ = 1, x₄ = -1

Comments

oder mit Vieta:

z²-5z+4=0

(z-1)(z-4)=0

...

Answer 2

x⁴ - 5x² + 4 = 0

Direkt faktorisieren mit Vieta geht hier auch. 1*4 = 4 und (-1) + (-4) = -5

(x² - 4)(x² -1) = 0        | 3. binomische Formel

(x-2)(x+2)(x-1)(x+1) = 0

Lösungsmenge ablesen

L = {-2, -1, 1, 2} 

Answer 3

Substituiere x²=z, löse die quadratische Gleichung und mache die Rücksubstitution.

Answer 4

Lösung ohne Substitution:

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

$x^4 - 5x^2 = -4$

$(x^2 - 2,5)^2 = -4+6,25=2,25 | \sqrt{~~}$

1.)$x^2 - 2,5 = 1,5$

$x₁= 2$    ∨     $x₂= -2$

2.)$x^2 - 2,5 = -1,5$

$x₃= 1$    ∨    $x₄= -1$

Answer 5

Lösung ohne Schnickschnack:

$$\begin{aligned} x^4 - 5x^2 + 4 &= 0 \\ (x^2)^2 - (1+4)\cdot x^2 + 1\cdot 4 &= 0 \\ (x^2-1)\cdot (x^2-4) &= 0 \\ (x+2)\cdot (x+1)\cdot (x-1)\cdot (x-2) &= 0 \\ x=-2 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=1 \quad&\lor\quad x=2 \end{aligned}$$ (Die Frage ist fast vier Jahre alt, hat aber irgendwie überlebt...)