Wie könnte man diese Gleichung per Hand lösen? x4 - 5x2 + 4 = 0
das geht mithilfe der Substitution:
x4 - 5x2 + 4 = 0
Substituiere t = x2
t2 - 5t + 4 = 0
löse zB mit PQ-Formel:
t1 = 4, t2 = 1
Rücksubstituieren:x2 = 4 x1 = 2, x2 = -2x2 = 1 x3 = 1, x4 = -1
oder mit Vieta:
z2-5z+4=0
(z-1)(z-4)=0
...
Direkt faktorisieren mit Vieta geht hier auch. 1*4 = 4 und (-1) + (-4) = -5
(x2 - 4)(x2 -1) = 0 | 3. binomische Formel
(x-2)(x+2)(x-1)(x+1) = 0
Lösungsmenge ablesen
L = {-2, -1, 1, 2}
Substituiere x²=z, löse die quadratische Gleichung und mache die Rücksubstitution.
Lösung ohne Substitution:
x4−5x2+4=0x^4 - 5x^2 + 4 = 0x4−5x2+4=0
x4−5x2=−4x^4 - 5x^2 = -4x4−5x2=−4
(x2−2,5)2=−4+6,25=2,25∣ (x^2 - 2,5)^2 = -4+6,25=2,25 | \sqrt{~~} (x2−2,5)2=−4+6,25=2,25∣
1.)x2−2,5=1,5x^2 - 2,5 = 1,5 x2−2,5=1,5
x₁=2x₁= 2 x₁=2 ∨ x₂=−2x₂= -2 x₂=−2
2.)x2−2,5=−1,5x^2 - 2,5 = -1,5 x2−2,5=−1,5
x₃=1x₃= 1x₃=1 ∨ x₄=−1x₄= -1 x₄=−1
Lösung ohne Schnickschnack:
x4−5x2+4=0(x2)2−(1+4)⋅x2+1⋅4=0(x2−1)⋅(x2−4)=0(x+2)⋅(x+1)⋅(x−1)⋅(x−2)=0x=−2∨x=−1∨x=1∨x=2\begin{aligned} x^4 - 5x^2 + 4 &= 0 \\ (x^2)^2 - (1+4)\cdot x^2 + 1\cdot 4 &= 0 \\ (x^2-1)\cdot (x^2-4) &= 0 \\ (x+2)\cdot (x+1)\cdot (x-1)\cdot (x-2) &= 0 \\ x=-2 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=1 \quad&\lor\quad x=2 \end{aligned}x4−5x2+4(x2)2−(1+4)⋅x2+1⋅4(x2−1)⋅(x2−4)(x+2)⋅(x+1)⋅(x−1)⋅(x−2)x=−2∨x=−1∨x=1=0=0=0=0∨x=2 (Die Frage ist fast vier Jahre alt, hat aber irgendwie überlebt...)
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