Zeigen SIe: a) J ist ein Ideal von ℤ[x]. b) 1 ∉ J

Question

Sei J := {3 · P + x · Q | P, Q ∈ Z[x]}. Zeigen Sie:

a) J ist ein Ideal von ℤ[x].

b) 1 ∉ J      Hinweis: Die Gradformel für Polynome gilt auch im Ring ℤ[x].

Answer 1

zu a) ist zu zeigen:

1. 0 ∈ J   stimmt. Nimm für P und Q je das 0-Polynom.

2. Für alle a,b ∈ J gilt a-b ∈ J.   stimmt:

Seien  a,b ∈ J dann gibt es P, Q ∈ Z[x]  mit a = 3 · P + x · Q

entsprechend  b = 3 · R + x · S mit  R,S  ∈ Z[x].

==>  a-b = 3 · (P-R) + x · (Q-S) 

und mit  P, Q, R, S ∈ Z[x]   sind auch

P-R   und  Q-S  ∈ Z[x], da  Z[x] ein Ring ist,

also a-b ∈ J.

3. Für alle a ∈ J und S ∈ Z[x] gilt  a*S ∈ J .

( S*a ist dann kein Problem, da Z[x] kommutativer Ring.)

wie oben:

Sei  a ∈ J dann gibt es P, Q ∈ Z[x]  mit a = 3 · P + x · Q

==>   a*S = 3 · (SP )  + x ·(S Q)   und mit P, Q, S ∈ Z[x]  sind auch

SR  und  SP  ∈ Z[x], da  Z[x] ein Ring ist, also  aS ∈ J .