Definition der Differenzierbarkeit

Question

Aufgabe:

Es seien A = \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)  ∈ \( R^{2x2} \)  und die Abbildungen
f :\(R^{2}\)→ R, x→ \( x^{T} \) *x

g : \(R^{2}\) → R, x→ \( x^{T} \)*A*x
gegeben, wobei wir x als Spaltenvektor verstehen. Zeigen Sie mit der Definition der Differenzierbarkeit, dass f in allen Punkten x ∈ R differenzierbar ist und die Ableitung f'(x) = 2\(x^{T}\)
besitzt. Zeigen Sie weiterhin, dass auch g differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung.

Problem/Ansatz:

Wäre froh wenn jemand mir hier behilflich sein könnte.

Answer 1

gemäß Ableitung ist

f(x+h)=f(x)+f'(x)*h+O(||h||^2)

Berechne f(x+h)=(x+h)^T *(x+h) =(x^T+h^T)(x+h)=x^T x +x^T h +h^T x + h^T h =x^T x +2x^T *h + h^T h

Der erste Summand ist f(x), der letzte in der Ordnung von h^2. Daher ist 2x^T =f'(x)

Bei der zweiten Aufgabe geht es ähnlich.

Comments

Vielen Dank :)

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Ich habe jedoch noch Fragen, zum einen, warum ist x^T*h+h^T*x =2*x^T *h ? und was bedeutet dieses "O" bei O(||h||2)?

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Es ist h^T *x = x^T *h . Das kannst du nachrechnen, indem du x=(x_1,x_2) und h=(h_1,h_2) setzt. +O(||h||^2) bedeutet + Terme der Ordnung ||h||^2 , also wo h in 2ter Potenz oder höher auftritt.

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Alles klar, also ist das sozusagen ein gesetz.

Vielen Dank