Beweise: Permutationen können als Produkt von Transpositionen geschrieben werden

Question

Es muss bewiesen werden, dass jede Permutation als Produkt von Transpositionen geschrieben werden kann. Dazu muss es auch gezeigt werden, dass jeder Zykel als Produkt von Transpositionen geschrieben werden kann. Als Hinweis wurde der Satz angegenen: Jede Permutation kann als Produkt disjunkter Zykeln geschrieben werden.

Also ich komme damit gar nicht klar. Weiß nicht wie man mit dem Beweis anfangen soll.

LG

Yas

Comments

Als Hinweis wurde der Satz angegenen: Jede Permutation kann als Produkt disjunkter Zykeln geschrieben werden.

D.h. du musst nur zeigen, dass jeder Zykel als Produkt von Transpositionen geschrieben werden kann. Danach kann man einfach alles verketten.

Answer 1

Man hat zwei "Standardmethoden" um ein Zykel als Produkt von

Transpositionen zu schreiben:

1. \((x_1\; x_2\; \cdots\; x_{k-1}\; x_k)=(x_1\; x_k)(x_1\; x_{k-1})\cdots(x_1\; x_3)(x_1\;x_2)\)

2. \((x_1\; x_2\; \cdots\; x_{k-1}\; x_k)=(x_1\;x_2)(x_2\;x_3)\cdots(x_{k-1}\; x_k)\)