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Zu Untersuchen sind die folgenden Relationen  R ,  S,  T  ⊆ N x N hinsichtlich der Eigenschaften Transitivität, Symmetrie und Antisymmetrie. Positive Antworten müssen kurz begründet, negative Antworten durch konkrete Gegenbeispiele belegt werden:
 

m R n ⇔ jeder Primteiler von m ist auch ein Teiler von n

m S n ⇔ m ist ein echter Teiler von n, d.h. m | n und m n

m T n ⇔ die Summen aller Primzahlen, die m bzw n teilen, sind gleich (jeder Primteiler wird nur einfach gezählt)

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Transitivität, Symmetrie und Antisymmetrie. 

Antisymmetrie wird nicht immer einheitlich verwendet. Annahme ihr habt für Antisymmetrie festgelegt, dass n R m genau dann wenn nicht m R n

 

a) m R n ⇔ jeder Primteiler von m ist auch ein Teiler von n

ist transitiv. seien x,y, z in N und ist x R y sowie y R z, so ist zu begründen, dass x R z. Liegt daran, dass die Teiler von y die Menge der Teiler von x als Teilmenge enthalten.

ist nicht symmetrisch. 6 R 12 aber nicht 12 R 6. 4 ist kein Teiler von 6

nicht antisymmetrisch. 5 R 5 aber nicht (nicht 5 R 5)

b) m S n ⇔ m ist ein echter Teiler von n, d.h. m | n und ≠ n

ist transitiv. seien x,y, z in N und ist x S y sowie y S z, so ist zu begründen, dass x S z. Liegt daran, dass die echten Teiler von y die Menge der echten Teiler von x als Teilmenge enthalten.

ist nicht symmetrisch. 6 S 12 aber nicht 12 S 6. 4 ist kein Teiler von 6

antisymmetrisch. seien x, y in N und gilt x S y, so ist die Menge der echten Teiler von x eine echte Teilmenge der Menge der echten Teiler von y , da sie y selbst nicht enthalten darf. somit ist automatisch die Menge der echten Teiler von y eine echte Obermenge der Menge der echten Teiler von x und es gilt nicht (y S x)

c) m T n ⇔ die Summen aller Primzahlen, die m bzw n teilen, sind gleich (jeder Primteiler wird nur einfach gezählt)

ist transitiv. Seien x,y,z in N und x T y sowie y T z und die Summe aller Primzahlen, die x teilen sei u. So ist zu zeigen dass x T z.    wegen x T z ist die Summe aller Primzahlen, die y teilen auch u und die Summe aller Primzahlen, die z teilen auch wegen y T z. Deshalb ist auch x T z.

ist symmetrisch.   Seien x und y in N und x T y und u die Summe aller Primzahlen, die x teilen. So gilt wegen x T y die Summe aller Primzahlen die y teilen ist auch u. Beide gleich also auch y T x.

ist nicht antisymmetrisch. 6 T 6 gilt (2+3 = 2+3, da 5 = 0) und gleichzeitig ist nicht(6 T 6) falsch, da 5 = 5. 

 

Anmerkung: Überprüfe noch die Definition von Antisymmetrisch.

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