Relationen - Antisymmetrie Transitivität

Question

Hallo und zwar habe ich das Vergnügen Relationen auf ihre Eigenschaften zu überprüfen. Leider habe ich bei den folgenden Aufgaben Probleme die Antisymmetrie und Transitivität (nur bei a) ) zu zeigen bzw. ein Gegenbeispiel zu finden.

a) M = R² : x ≈ y ⇔ (x₁ - y₁) ²   + (x₂ - y₂) ²   ≤ 1/4

b) M = N: a ≈ b ⇔ a + b ungerade

Ich wäre über eine Erklärung/Antwort somit sehr dankbar.

LG

Answer 1

a) Betrachte die Punkte (0;0) und ( 1/3 ; 1/3 ) und ( 2/3 ; 2/3) ;

Es gilt (0;0) ≈( 1/3 ; 1/3 )  und   ( 1/3 ; 1/3 ) ≈( 2/3 ; 2/3)

aber nicht   (0;0) ≈( 2/3 ; 2/3). Das zeigt: nicht transitiv.

Nicht antisymmetrisch zeigen z.B. (0;0) und ( 1/3 ; 1/3 );

denn (0;0) ≈( 1/3 ; 1/3 )  und ( 1/3 ; 1/3 )  ≈ (0;0)

aber die Paare sind nicht gleich .

b)   a=2   b=3   c=4  zeigt: nicht transitiv.

und a=2  b=3  zeigt:  Nicht antisymmetrisch