Alle relativen und absoluten Extrema von g auf D? g(x, y) = xy^2 (4 − x − y).

Question

Aufgabe

Sei D = {(x, y) ∈ R^2: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6}
und g(x, y) = xy^2 (4 − x − y).

Bestimme alle relativen und absoluten Extrema von g auf D.

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits jeweils die partielllen Ableitungen bestimmt:

d/dx g = -y^2 (2x+y-4)

d/dy g = xy (-2x-3y+8)

Außerdem habe ich bereits herausgefunden, dass es lokale Extremstellen an bei (0,0) und (1,2) gibt.

Allerdings weiß ich jetzt nicht wie ich weitermache soll, da wir auch solche "Hilfsmittel" wie die Hesse Matrix nicht in der Vorlesung behandelt haben.

Liebe Grüße.

Answer 1

Hallo

1. auf dem Gebiet x,y>0 x+y>0 musst du die Werte auf diesem Rand untersuchen. 2. ob etwas ein lokales Min ist untersuchst du indem du Werte in der Umgebung von etwa (0,0) suchst. da ist die funktion 0, wenn du in der Umgebung werte >0 und <0 findest ist es  ein Sattel, wenn du nur Werte >0 findest ein Min. nur <0 ein Max.

am besten lass dir die funktion einfach mal plotten,

vergessen hast du dass y=0 ,x beliebig eine Waagerechte Tangentialebene hat