Im folgenden ist \(R\) der Radius der Halbkugel und \(r\) der Radius einer Scheibe, die im Abstand von \(z\) vom Mittelpunkt (der Kugel) waagerecht abgeschnitten wird. Dann gilt$$r^2 = R^2 - z^2$$ und die Fläche \(Q(z)\) so einer Scheibe im Abstand von \(z\) ist$$Q(z) = \pi r^2 = \pi (R^2 - z^2)$$Das Volumen \(V\) der Halkugel ist die Summe aller Scheiben mal \(\text{d}z\)$$V = \int_0^R Q(z) \, \text{d}z$$ und der Abstand \(z_s\) des Schwerpunkts vom Mittelpunkt (der Kugel) ist$$\begin{aligned} z_s &= \frac{\int z \cdot Q(z) \, \text{d}z}{\int Q(z) \, \text{d}z} \\ &= \frac{\int_0^R \pi\left( zR^2 - z^3\right)\, \text{d}z}{\int_0^R \pi\left( R^2 - z^2\right)\, \text{d}z } \\ &= \frac{\left .\frac 12 z^2R^2 - \frac 14 z^4 \right|_0^R}{\left. zR^2 - \frac 13 z^3\right|_0^R} \\ &= \frac{\frac 14 R^4}{\frac 23 R^3} \\ &= \frac 38 R \end{aligned}$$siehe auch hier: https://www.mathelounge.de/339098.
