Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2

Question 1

komme bei folgender Aufgabe nicht weiter bzw. finde nicht den richtigen Ansatz.

$\textbf{(schriftlich, 7 Punkte)} Sei $V \subset \R[x]$ der dreidimensionale reelle Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens~$2$. Eine Basis von $V$ ist gegeben durch $A=\{1,x,x^2\}$. \begin{enumerate} \item Zeigen Sie, dass auch $B=\{2x^2 -x-1, -2x^2 +3x+2, -x^2 + x + 1\}$ eine Basis von $V$ ist. \item Bestimmen Sie $T^B_A$ und $T^A_B$. \item Sei $F : V \to V$ die lineare Abbildung $f \mapsto x \frac{d}{dx}(f)+f$. Hierbei ist $\frac{d}{dx}: \R[x] \to \R[x]$ die lineare Abbildung gegeben durch $x^k \mapsto k x^{k-1}$. Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von $F$ bezüglich $A$. \item Zeigen Sie, dass $F$ ein Isomorphismus ist. \end{enumerate}$

Bei der 1. muss ich doch zeigen, dass die Polynome linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden? Oder funktioniert das mit Polynomen anders als mit Vektoren

Question 2

Du kannst jedes Element $a_0+a_1x+a_2x^2\in V$ mit dem Vektor $(a_0,a_1,a_2)\in\mathbb{R}^3$ identifizieren. Rechne also einfach so, als wuerden da Vektoren mit drei Komponenten stehen, dann wird es automatisch richtig.

Question 3

okay :)

und diese drei vektoren überprüfe ich dann auf lineare unabhängigkeit?

Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2

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