Untervektorraum des R^n bilden, wenn bi=0

Question

Aufgabe:

Gegeben sei das lineare Gleichungssystem:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

. . .

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

Zeigen Sie, dass die Menge der Lösungen des linearen Gleichungssystems genau dann einen Untervektorraum des R^n bilden, wenn bi = 0 für alle 1 ≤ i ≤ m.

Problem/Ansatz:

Wie sollte man hier vorangehen?

…

Answer 1

Die Lösungen des Gleichungssystems sind ja Elemente

von der Art x = (x1,...,xn) , also aus R^n.

Das 0 Tupel ist genau dann enthalten, wenn

alle b_i gleich 0 sind ; denn wenn du das einsetzt

stehen da ja alles Gleichungen von der Form 0=b_i .

Also können die x nur dafür einen Vektorraum bilden.

Musst nur noch zeigen, dass es dann auch wirklich einer

ist, also Abgeschlossenheit prüfen; denn alles

andere ist ja klar, weil es eine Teilmenge von R^n ist.

Comments

Okay Danke :)

Ist das so richtig für die Addition?

Seien u und v ∈ L(A,0) dann gilt
0 = Au + Av = A(u+v)
Also ist u+v ∈ L(A,0)

Und für die Multiplikation ?

Sei u ∈ L(A,0) dann gilt
0 = λAu =A(λu)
also ist auch λu ∈ L(A,0)

Wäre damit alles bewiesen worden?

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Denk dran, du musst die Hin- und Rückrichtung zeigen, da hier von Äquivalenz der beiden Aussagen ausgegangen wird. Außerdem ist zz dass UVR nichtleer ist.