0 Daumen
195 Aufrufe

Aufgabe:

Gegeben sei das lineare Gleichungssystem:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

. . .

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

Zeigen Sie, dass die Menge der Lösungen des linearen Gleichungssystems genau dann einen Untervektorraum des R^n bilden, wenn bi = 0 für alle 1 ≤ i ≤ m.


Problem/Ansatz:

Wie sollte man hier vorangehen?



von

1 Antwort

+1 Daumen

Die Lösungen des Gleichungssystems sind ja Elemente

von der Art x = (x1,...,xn) , also aus R^n.

Das 0 Tupel ist genau dann enthalten, wenn

alle bi gleich 0 sind ; denn wenn du das einsetzt

stehen da ja alles Gleichungen von der Form 0=bi .

Also können die x nur dafür einen Vektorraum bilden.

Musst nur noch zeigen, dass es dann auch wirklich einer

ist, also Abgeschlossenheit prüfen; denn alles

andere ist ja klar, weil es eine Teilmenge von R^n ist.

von 171 k

Okay Danke :)

Ist das so richtig für die Addition?

Seien u und v ∈ L(A,0) dann gilt
0 = Au + Av = A(u+v)
Also ist u+v ∈ L(A,0)

Und für die Multiplikation ?

Sei u ∈ L(A,0) dann gilt
0 = λAu =A(λu)
also ist auch λu ∈ L(A,0)

Wäre damit alles bewiesen worden?

Denk dran, du musst die Hin- und Rückrichtung zeigen, da hier von Äquivalenz der beiden Aussagen ausgegangen wird. Außerdem ist zz dass UVR nichtleer ist.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...