Mit "Aufspannen" hat das nicht viel zu tun.
Die gegebene Menge P2(x) und die definierte Addition und S-Multiplikation
BILDEN einen Vektorraum.
Um das zu zeigen, musst du alle VR-Axiome dafür nachprüfen.
z.B. Assoziativität :
Seien p,q,r Elemente vonP2[x] . Dann ist zu zeigen (p+q)+r = p+(q+r) .
Dazu wendest du einfach die Definitionen an:
Da p,q,r Elemente vonP2[x] gibt es a1,b1,c1 ∈ℝ mit p=a1x^2+b1x+c1
und es gibt a2,b2,c2 ∈ℝ mit q=a2x^2+b2x+c2
und es gibt a3,b3,c3 ∈ℝ mit r=a3x^2+b3x+c3.
Dann ist nach Def. von + in diesem Vektorraum
p+q = (a1+a2)x^2+(b1+b2)x+(c1+c2) , also
(p+q) + r =( (a1+a2)x^2+(b1+b2)x+(c1+c2)) + r
und wieder nach der Def. von +
=( (a1+a2)+a3)x^2+((b1+b2)+b3)x+((c1+c2)+c3)
und weil die a1,a2,a3,b1,b2,.... alle aus ℝ sind und dort
Assoziativität für + gilt ist das
=(a1+(a2+a3))x^2+(b1+(b2+b3))x+(c1+(c2+c3))
jetzt wendest du die Def. von + im Vektorraum rückwärts an
und bekommst
= p + ( (a2+a3)x^2+(b2+b3)x+(c2+c3) )
und in der Klammer. das ist wieder nach Def- von +
ja gerade q+r, also hast du
= p + (q+r) q.e.d
In dieser Art kannst du die Gültigkeit aller Vektorraumaxiome
für ( P2[x], + , * ) beweisen.
Ist viel Schreibarbeit !
