f: M → M, Beweis, dass f^m (M) eine Teilmenge von f^n (M) für beliebige m,n aus N(null) und m größer als n

Question

Aufgabe:

Es sei M eine nichtleere Menge und f: M -> M eine Abbildung. Beweise, dass für beliebige m,n ∈ ℕ₀ mit m ≥n gilt, dass f^m(M) ⊂ fⁿ(M).

Ansatz/Problem:

Ich dachte, vielleicht kann ich so anfangen, dass ich f^m(M) als f^n+k(M) bzw. f^k(f^m(M)) (mit k ∈ ℕ₀) schreibe, und dann beweise, dass f^k(fⁿ(M)) eine Teilmenge von fⁿ(M) ist.

Außerdem gilt ja auch auf jeden Fall, dass f(M) ⊂ M.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Beweis

Um zu beweisen, dass für beliebige \(m, n \in \mathbb{N}_0\) mit \(m \geq n\) gilt, dass \(f^m(M) \subseteq f^n(M)\), betrachten wir deine vorgeschlagene Strategie und führen den Beweis in zwei Schritten.

Schritt 1: Umformulierung von \(f^m(M)\) als \(f^{n+k}(M)\)

Gegeben sei, dass \(m \geq n\). Dann existiert ein \(k \in \mathbb{N}_0\) derart, dass \(m = n + k\). Daraus folgt direkt, dass \(f^m(M) = f^{n+k}(M)\). Nutzt man die Definition der Funktionskomposition, lässt sich \(f^{n+k}(M)\) auch als \(f^k(f^n(M))\) ausdrücken.

Schritt 2: Verständnis von \(f^k(f^n(M))\) als Teilmenge von \(f^n(M)\)

Als nächstes stellen wir fest, dass wenn \(f(M) \subseteq M\), jede Iteration von \(f\) auf \(M\) oder einem Bild von \(M\) unter \(f\) weiterhin eine Teilmenge von \(M\) oder dem vorherigen Bild bildet. Insbesondere, wenn \(f^n(M) \subseteq M\), was durch die fortgesetzte Anwendung von \(f\) impliziert wird, dann sorgt auch jede weitere Anwendung von \(f\), also \(f^k(f^n(M))\), dafür, dass das Ergebnis eine Teilmenge der vorherigen Menge ist, weil jeder Punkt, der unter \(f^k\) transformiert wird, bereits durch \(f^n\) transformiert wurde und deshalb in \(M\) bleibt.

Um jedoch direkt zu zeigen, dass \(f^k(f^n(M)) \subseteq f^n(M)\), nutzen wir die Annahme, dass \(f(M) \subseteq M\), und erkennen, dass dies auch für mehrfache Anwendungen von \(f\) gilt. Für jedes \(x \in f^m(M) = f^k(f^n(M))\), existiert ein \(y \in f^n(M)\), sodass \(x = f^k(y)\). Da \(y \in f^n(M)\), und \(f^k(y)\) einfach das \(k\)-malige Anwenden von \(f\) auf ein Element von \(f^n(M)\) ist, bleibt \(x\) im Bild von \(f^n(M)\), was zeigt, dass \(f^{n+k}(M) \subseteq f^n(M)\) oder einfacher \(f^m(M) \subseteq f^n(M)\).

Zusammenfassung

Die Argumentation basiert auf der Wiederholten Anwendung von \(f\), die zeigt, dass wenn man \(f\) zusätzliche \(k\) Male nach bereits \(n\)-maliger Anwendung ausführt, alle Elemente, die durch diese weiteren Anwendungen transformiert werden, bereits durch die ersten \(n\) Anwendungen erfasst wurden. Daher ist \(f^m(M)\), für \(m = n + k\), eine Teilmenge von \(f^n(M)\).