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Hallo Liebe Community,

Leider komme ich mit dieser Aufgabe überhaupt nicht klar.

Es sind die ersten Wochen und es wäre nett wenn mir jemand die Lösung zu folgender Aufgabe verraten könnte, denn ich komme hier überhaupt nicht voran.


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Vielen dank im Voraus.

von

Kann mir niemand helfen ?

wäre auch für Hilfe dankbar:)

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass die Folge für jede Wahl der Startwerte konvergiert

Stichworte: konvergenz

Aufgabe:

Es sei (an)n∈N0
eine Folge komplexer Zahlen mit
an+1 =1/2*(an + an−1), (n ≥ 1).

Die Startwerte a0 und a1 seien vorgegeben. Zeigen Sie, dass die Folge für jede Wahl der
Startwerte konvergiert, und berechnen Sie
a := limn→∞an
in Abhängigkeit von a0 und a1.

Es gibt auch ein Hinweis: Betrachten Sie die Differenzen ∆n := an+1 − an. Für die Berechnung des Grenzwerts ist die geometrische Reihe nützlich

2 Antworten

+1 Daumen

Hallo

Δn=-1/2*Δ(n-1)

und ∑^nΔn=a1-a0+a2-a1+a3-a2+......a(n+1)-an=a0+a(n+1)

Gruß lul

von 26 k
0 Daumen

$$a_{n+1}:=\tfrac12(a_n+a_{n-1})\text{ mit }a_0,a_1\in\mathbb C.$$$$d_n:=a_{n+1}-a_n$$$$d_n=\tfrac12(a_n+a_{n-1})-a_n=(-\tfrac12)(a_n-a_{n-1})$$Induktiv folgt$$d_n=(-\tfrac12)^n(a_1-a_0)$$Weiter ist$$a_{n+1}=d_n+a_n$$Induktiv folgt$$a_{n+1}=\sum_{k=0}^nd_k+a_0$$$$\qquad=(a_1-a_0)\sum_{k=0}^n(-\tfrac12)^k+a_0$$$$\qquad=\tfrac23(a_1-a_0)\big(1-(-\tfrac12)^{n+1}\big)+a_0$$Bilde nun den Grenzwert für  \(n\to\infty\).

von 1,7 k

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