Konvergiert die geometrische Reihe

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Reihe mit der geometrischen Reihe auf Konvergenz und berechnen Sie den Grenzwert.

3 + 3/5 + 3²/5² + 3³/5³ + ...

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, dass ich mir nicht sicher bin, wie ich das in die geometrische Reihe umwandel. Wäre das einfach nur

$$ \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\left(\frac35\right)}^n $$

Wir hatten nämlich mal eine ähnliche Aufgabe, da wurde jedoch noch eine Konstante addiert, mir ist jedoch nicht klar, wie ich auf diese Konstante komme.

Danke vorab!

Comments

Die Reihe sieht eher aus wie \(\displaystyle\,3+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac35\right)^{\!n}\). Die Konstante, die addiert wird, ist 3.

Answer 1

Hallo

der erste Summand 3 ist falsch für die geometrische Reihe denn q^0=1 , deshalb hast du 2+\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(3/5)^n} \) hattest du den Anfang deiner Reihe aufgeschrieben, hättest du das selbst bemerkt!

Gruß lul

Answer 2

Die Reihe sieht eher aus wie \(\displaystyle\,3+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac35\right)^{\!n}\). Die Konstante, die addiert wird, ist 3.

Ich finde  \(\displaystyle\,2+\sum_{\huge{n=0}}^\infty\left(\frac35\right)^{\!n}\)

als Darstellung von

3 + 3/5 + 3²/5² + 3³/5³ + ... = 2+(1 + 3/5 + 3²/5² + 3³/5³ + ...)

schöner.

Comments

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Answer 3

Hallo,

die Formel für die geometrische Reihe lautet

$$ \sum \limits_{k=0}^{\infty} q^{k}=\frac{1}{1-q} \quad \text{ für} \quad|q|<1. $$ Das bedeutet, dass der erste Summand \(q^0=1\) ist.

Deshalb solltest du statt 3+... schreiben: 2 + 1 + ...

Damit ist der Grenzwert \(2+\frac{1}{1-0,6}=2+2,5=4,5\)

:-)