Restklassen Division - Mehrere Fragen in den Anmerkungen rechts der Umformungsschritte.

Question

Aufgabe:

Für jede Primzahl \(p\) sei \( \mathbb{F}_p = ( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \) ein Körper.

Beispiel für \(p\) = 7.

\begin{aligned}
   \frac{\overline{4}}{\overline{3}} &= \overline{4} * \frac{1}{\overline{3}} &  \text{Muss hier über der 1 im Bruch auch ein Strich sein?} \\ 
    &= \overline{4} * \overline{5}  & \text{Wie kommt man von Restklasse 1/3 zu 5 ?  } \\
    &= \overline{4*5} & \text{So ist die Restklassenrmultiplikation definiert. } \\
    &= \overline{20} & \text{Ich habe eine Tabelle gezeichnet und abgelesen dass 20 kongruent zu 6 ist, aber weiss nicht wie ich sonst dahin käme. } \\
&= \overline{6}
\end{aligned}

Fragen
Fragen sind in den Anmerkungen rechts von den Umformungsschritten.
Bin Dankbar für jede Hilfe.

(1) In der ersten Gleichung: Muss dort nicht im Bruch 1/3 über der 1 ebenfalls ein Strich sein? 

(2) Wie kommt man von 1/3 zu 5 ? Dann müsste ja 1/3 kongruent zu 5 sein, oder? 

(3) Die 20 ist kongruent zu 6. Ich musste dafür eine Tabelle machen, wie komme ich auf die Kongruenz zu 6 ohne Tabelle ?

Answer 1

(2) Wie kommt man von 1/3 zu 5 ? Dann müsste ja 1/3 kongruent zu 5 sein, oder? 

% ist das Inverse zu 3, denn 3*5=15 ist kongruent zu 1 nach dem Modul 7.

(3) Die 20 ist kongruent zu 6. Ich musste dafür eine Tabelle machen, wie komme ich auf die Kongruenz zu 6 ohne Tabelle ?

Teile 20 durch 7.

20:7 = 2 Rest 6. 20 lässt also den Rest 6 bei Teilung durch 7.

(Du kannst auch von 20 so lange 7 subtrahieren, bis das Ergebnis kleiner als 7 ist.)

Comments

Rückfage

Das verstehe ich nicht: 

% (Prozent?) ist das Inverse zu 3, denn 3*5 = 15 ist kongruent zu 1 nach dem Modul 7. 

Woran erkenne ich das Inverse zu 1/3?  
Ohne Restklassen ist 1/3 das multiplikative Inverse zu der Zahl 3. 

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% ist das Inverse zu 3, denn 3*5=15 

Habe beim Eingeben von "5" versehentlich die SHIFT-Taste gedrückt, deshalb das %.

5 ist das Inverse zu 3, denn 3*5=15 ist kongruent zu 1 mod 7.

Ohne Restklassen ist 1/3 das multiplikative Inverse zu der Zahl 3. 

Ja, aber bei Restklassen gibt es keine Brüche, nur ganze Zahlen.

1/3 ist nur eine symbolische Schreibweise für die Zahlen, die man mit 3 multiplizieren muss, um 1 (als Restklasse) zu erhalten.

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Kannst du folgendes noch überprüfen, ich glaube ich habe es verstanden. 

Ja, aber bei Restklassen gibt es keine Brüche, nur ganze Zahlen.

Ja, aber bei Restklassen gibt es keine Brüche, nur ganze Zahlen.Okay, super das habe ich verstanden. 

1/3 ist nur eine symbolische Schreibweise für die Zahlen, die man mit 3 multiplizieren muss, um 1 (als Restklasse) zu erhalten.

Okay ich glaub ich habe es verstanden. Also wenn ich \( \frac{1}{\overline{3}} \) habe kann ich sagen, dass sein Inverses \overline{3} ist.

Denn : \( \frac{1}{\overline{3}} *  \overline{3} = \frac{\overline{3}}{\overline{3}} = \overline{1}.\)

Oder ? 

Mein Vorgehen 2: 
Jetzt, hätten wir das mit dem Inversen Element geklärt. 

Wir wissen aber, dass ein Element, multipliziert mit seinem Inversem = Neutrales Element ergibt.  (Also bei Multiplikation hier wäre das die 1) 

Wir haben eine Multiplikationsaufgabe und die ist definiert und möglich wenn wir in der Rechnung ganze Zahlen vorhanden haben. 
Aber wir haben einen Bruch, der stört mich ehrlich gesagt und ich möchte den wegbekommen, naja ganz löschen will ich ihn nicht aber ich möchte den Bruch durch eine gleichwertige ganze Zahl verändern. 

Das heisst, ich schreibe die Tabelle auf für p=7 und suche eine Zahl die genau wie obige Rechnung mit dem Inversen Element 1 ergibt. 
Habe ich so eine Zahl gefunden, kann ich den Bruch durch diese gefundene Zahl ersetzen. 

Hier ein Bild.