Diagonalelemente einer positiven Matrix

Question

Aufgabe:

a) Sei n ∈ N. Zeigen Sie, dass alle Diagonalelemente einer positiv definiten Matrix
A ∈ R
n×n positiv sind.
b) Gilt die Umkehrung der Aussage in a) auch?

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wo bzw. wie die Diagonalelemente bestimmt werden. Wie ist eine "positiv definitive" Matrix zu erkennen?

Comments

Tipp zu a)  Betrachte \(e_k^\top Ae_k\), wobei \(e_k\) den \(k\)-ten kanonischen Einheitsvektor \( e_k=(0\dots0 \, 1 \, 0\dots0)^\top\) bezeichnet.

Answer 1

Schau mal dort:

http://www.semverteilung.vwl.uni-muenchen.de/lehre/vwl3/ss2008/Definit-A4.pdf

Und der Tipp von Spacko :

Nach Def. der Definitheit muss ja für alle x ∈ R^n gelten

x^T * A * x > 0

Wenn du eine Matrix hast wie

a   b   c
d   e   f
g   h   i

und nimmst für x den ersten Einheitsvektor, also (1;0;0)^T

dann gibt  x^T * A * x genau das Element a und beim 2. Einheitsvektor

das e und beim dritten das i. Also genau die

Diagonalelemente.

Umgekehrt ist es aber nicht. Gegenbeispiel etwa  M=

1    -3
0     1     (alle Diag.elem. positiv) aber

(1;1) * M * 1     =  -1  < 0 
                 1