Beweis einer Konvergenz

Question

Es ist amtlich, ich und Analysis werden keine Freunde.
Beim Durcharbeiten des Skripts stieß ich auf folgende Aufgabe:

Sei (a_n) eine Folge mit a_n ∈ ℤ für alle n ∈ ℕ. Beweisen Sie, dass (a_n) genau dann gegen a konvergent ist, wenn es einen Index n₀ so gibt, dass a_n = a für alle n ≥ n₀  ist.

Was mir klar wäre, wenn die Voraussetzung a_n = n heißen sollte. Oder steht da jetzt einfach an = Konstante?

Kann mir wer helfen?

Answer 1

Der Pfiff ist hier  a_n ∈ ℤ.

Normalerweise heißt es ja in der Grenzwertdefinition

dass (an) genau dann  gegen a konvergent ist, wenn es für alle eps>0

einen Index n0 so gibt, dass  | an - a |   < eps für alle n ≥ n0  ist.

Aber z.B. für eps = 0,5 gilt  | an - a |   < eps  für

ganze Zahlen an und a nur, wenn an=a ist.

Du musst also nur ausschließen (wieder mit der Def.), dass eine

Folge ganzer Zahlen nicht gegen einen Grenzwert, der keine

ganze Zahl ist, konvergieren kann.

Geht wohl indirekt am besten; denn wäre a∉ℤ , dann gibt es ein

eindeutig bestimmtes maximales x und ein eindeutig bestimmtes minimales y

mit x < a < y . Und wähle dann eps = min ( a-x; y-a } / 2 und du zeigst

mit der GW-Def. dass a nicht der Grenzwert sein kann.

Die Umkehrung ist ja einfach: Wenn die Folge letztendlich konstant ist, dann

konvergiert sie auch gegen diese Konstante.

verschiedene x und y aus ℤ mit x < a < y

Comments

öööööööööööhm....ok...wenn du jemals einen Grund bräuchtest, warum Analysis und ich keine Freunde werden, hast du ihm mir direkt frei Haus geliefert..:-)

Ich werde über diesen Text einmal meditieren...:-)

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Okay, ich komme nicht weiter und verzweifle mittlerweile. Ich fasse zusammen was ich weiß

Eine Folge bildet (in diesem Falle eine Natürliche Zahl n ) eine Definitionsmenge auf eine Zielmenge ZZ ab. Ergo:

1 → a1

2 → a2

3 → a3

n → an

Ich finde tausende Beispiele, bei denen die Funktionsvorschrift lautet zB. 1/n. Dann setze ich für n 1 ein und erhalte a1 dann für n 2 und erhalte a2 usw....

DAS fehlt aber hier komplett...halt nur, dass an = a....also setze ich n als natürliche zahl ein...bekomme ich einen Grenzwert...Raff ich nicht...HILFE!!!!