Maximaler/Minimaler Wert für Zufallsvariablen in Abhängigkeit der Dichte- und Verteilungsfunktion

Question

Aufgabe:

Seien \( X \) und \( Y \) zwei unabhängige, diskrete und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Dichtefunktion \( f(x) \) und Verteilungsfunktion \( F(x) \). Bestimmen Sie die Dichte und die die Verteilung von \( \max \{X, Y\} \) und \( \min \{X, Y\} \) in Abhängigkeit von \( f(x) \) und \( F(x) \).

Answer 1

Hallo,

es ist

\( F_{\max(x)} = P(\max(X, Y) \leq x) \)
\( = P(X \leq x \land Y \leq x) \)
\( = P(X \leq x) P(Y \leq x) = F_X(x) F_Y(x) = F^2(x) \).

Es ergibt sich

\( f_{\max}(x) = 2 f(x) F(x) \).

Weiter ist

\( P(\min(X, Y) \leq x) = 1 - P(\min(X, Y) > x) \)
\( = 1 - P(X > x \land Y > x) \)
\( = 1 - P(X > x) P(Y > x) \)
\( = 1 - (1 - P(X \leq x))(1 - P(Y \leq x)) \)
\( = 1 - (1 - F_X(x))(1 - F_Y(x)) \)
\( = 1 - (1 - F(x))^2 \).

Hier ergibt sich

\( f_{\min(x)} = 2 f(x) (1 - F(x)) \).

Grüße

Mister