Maximaler/Minimaler Wert für Zufallsvariablen in Abhängigkeit der Dichte- und Verteilungsfunktion

Question

Aufgabe:

Seien $X$ und $Y$ zwei unabhängige, diskrete und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Dichtefunktion $f(x)$ und Verteilungsfunktion $F(x)$. Bestimmen Sie die Dichte und die die Verteilung von $\max \{X, Y\}$ und $\min \{X, Y\}$ in Abhängigkeit von $f(x)$ und $F(x)$.

Answer 1

Hallo,

es ist

$F_{\max(x)} = P(\max(X, Y) \leq x)$
$= P(X \leq x \land Y \leq x)$
$= P(X \leq x) P(Y \leq x) = F_X(x) F_Y(x) = F^2(x)$.

Es ergibt sich

$f_{\max}(x) = 2 f(x) F(x)$.

Weiter ist

$P(\min(X, Y) \leq x) = 1 - P(\min(X, Y) > x)$
$= 1 - P(X > x \land Y > x)$
$= 1 - P(X > x) P(Y > x)$
$= 1 - (1 - P(X \leq x))(1 - P(Y \leq x))$
$= 1 - (1 - F_X(x))(1 - F_Y(x))$
$= 1 - (1 - F(x))^2$.

Hier ergibt sich

$f_{\min(x)} = 2 f(x) (1 - F(x))$.

Grüße

Mister