Verteilungsfunktion aus Dichtefunktion mit zwei Zufallsvariablen bestimmen (mit Lösung)

Question

ich suche den Lösungsweg zu folgender Aufgabe:

Der stetige Zufallsvektor (X,Y) habe nachfolgende gemeinsame Dichtefunktion:

f (x,y) = x+y für 0 ≤ x, y ≤ 1

0 sonst

Nun soll die Verteilungsfunktion bestimmt werden:

Dies geschieht, wenn ich mich nicht täusche, über ein doppeltes Integral. Jedoch erhalte ich nicht die richtige Lösung. Folgende Teillösung der Verteilungsfunktion ist richtig:

1/2xy² + 1/2x²y für 0 ≤ x, y ≤ 1

Welche Integralgrenzen müssen für x und y verwendet werden, um auf dieses Ergebnis zu kommen?

Vielen Dank für Hilfe.

Answer 1

Sagen wir, F steht für die Verteilungsfunktion. D.h.

$$F(x,y)=P(X\le x,\quad Y\le y)$$. Damit folgt aber:

$$F(x,y)=\int { f(\alpha ,\beta )\quad d(\alpha ,\beta ) } \\ =\quad \int _{ 0 }^{ x }{ \int _{ 0 }^{ y }{ \alpha +\beta \quad d\beta  }  } d\alpha \\ =\int _{ 0 }^{ x }{ \alpha y+\cfrac { 1 }{ 2 } { y }^{ 2 } } d\alpha \\ =\quad \cfrac { 1 }{ 2 } { x }^{ 2 }y+\cfrac { 1 }{ 2 } x{ y }^{ 2 }$$...