Prüfen ob Abbildungen linear sind

Question

Aufgabe:

1.a)

$$ \varphi : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \text { vermöge } \left( \begin{array}{c}{x_{1}} \\ {x_{2}}\end{array}\right) \mapsto \varphi \left( \begin{array}{l}{x_{1}} \\ {x_{2}}\end{array}\right)=\left| \begin{array}{ll}{x_{1}} & {a} \\ {x_{2}} & {b}\end{array}\right|, \quad a, b \in \mathbb{R} $$

b)

$$ \varphi : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \text { vermöge } \left( \begin{array}{l}{x_{1}} \\ {x_{2}}\end{array}\right) \mapsto \varphi \left( \begin{array}{l}{x_{1}} \\ {x_{2}}\end{array}\right)=\left| \begin{array}{cc}{x_{1}} & {a} \\ {b} & {x_{2}}\end{array}\right|, \quad a, b \in \mathbb{R} $$

$$ \begin{array}{l}{\text { Für den Fall, dass } \varphi \text { linear ist, berechnen Sie zusätzlich den Kern } \operatorname{ker}(\varphi) \text { und }} \\ {\text { seine Dimension } \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(\varphi)) !}\end{array} $$
Problem/Ansatz:

Zu zeigen ist die Homogenität und Additivität... in den ganzen Beispielen im Internet, wurde dies immer mit richtigen Aufgaben gezeigt. Da ich mich aber immer mit allgemeinen Dingen schwer tue, weiß ich nicht weiter. Zudem habe ich auch mit der Notation Probleme, wie das zu verstehen ist.

Und ist Aufgabe a/b nicht praktisch das selbe ?

LG

Answer 1

Das ist ja eigentlich nur die Determinante einer 2x2 Matrix. Die Determinante einer Matrix $$M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ ist a*d-b*c

Demnach musst du bei a) zeigen dass φ(x) = x1 * b- x2 * a eine lineare Abbildung ist. Ich denke mal ab hier kommst du alleine klar.

Kannst ja mal bei meiner Frage reinschauen ob du mir da helfen könntest:D