Zeigen Sie: Die obigen Abbildungen sind linear und bestimmen Sie deren Kern.

Question

Aufgabe:

 $h: V \rightarrow V, x \mapsto x-2 \frac{\langle x, w\rangle}{\langle w, w\rangle} w$, wobei $V$ ein unitärer Vektorraum (also ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt) ist, $0 \neq w \in V$.

Zeigen Sie: Die obigen Abbildungen sind linear und bestimmen Sie deren Kern.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Kernbestimmung:

$x\in\ker(h)\Rightarrow x=2\frac{\langle x,w\rangle}{\langle w,w\rangle} w$,

d.h. $x$ ist ein skalares Vielfaches von $w$, es gibt also $c\in \mathbb{C}$

mit $x=cw$, folglich: $cw=2\frac{\langle cw,w\rangle}{\langle w,w\rangle}w=2cw$.

Wegen $w\neq 0$ also $c=0$ und damit $x=0$. Der Kern besteht

nur aus dem Nullvektor.