Lineare Abbildung: Beweisen oder Widerlegen

Question

Aufgabe:

Zeigen oder widerlegen Sie, dass es sich um eine lineare Abbildung handelt.

f : Z²₂ -> Z²₂ , f ($\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$) = $\begin{pmatrix} y \\ x^2\end{pmatrix}$

 
Problem/Ansatz:

Ich weiß was ich allgemein zeigen muss nämlich,

f ($\begin{pmatrix} x1 \\ y1 \end{pmatrix}$ + $\begin{pmatrix} x2 \\ y2 \end{pmatrix}$) = f $\begin{pmatrix} x1 \\ y1 \end{pmatrix}$ + f $\begin{pmatrix} x2 \\ y2 \end{pmatrix}$

und

f ( λ * $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$) = λ * ( f $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$)

Das muss aber im Z₂ gezeigt werden, somit habe ich nur {0,1} zur Verfügung und da weiß ich nicht, wie man dies allgemein zeigen soll und ob sich der Z₂ nur auf x und y bezieht, oder auch auf λ.

Answer 1

Im $\mathbb{Z}_2$ ist $x=x^2$. Darum ist auch$$f\left( \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} y\\ x^2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} y\\ x \end{pmatrix} \quad x,\,y \, \in \mathbb{Z}_2$$man könnte also auch schreiben$$f\left( \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$$und dies ist ohne Zweifel eine lineare Abbildung.