Dualdarstellung berechen?

Question

Aufgabe:

ich schreibe mal dieekt die Aufgabenstellung. es ist die letzte Aufgabe auf dem Blatt unddamit auch die schwierigste und ich habe absolut nicht verstanden, wie die gehen soll:

Es ist 17/20 = 3/5 + 1/4.

Schreiben Sie die Zahl 17/20 im Dualsystem (also g = 2):

Hinweis: Die periodische Zahl 0,000 . . . 01 mit Periodenlänge n lässt sich als

Summe von k = 1 bis ∞   g^(-kn) = 1/(1 - g^(-n)) - 1) = (1 − (1 − g^(-n)))/(1-g^(-n)) =

(g^(-n))/(1-g^(-n)) = 1 / (g^(n) -1)

Comments

.. ich habe meine Antwort noch mal erweitert (s.u.)

Answer 1

Mache Dir eine Tabelle. In der ersten Zeile schreibst Du den Wert $17/20$. Wichtig: dieser Wert muss kleiner als 1 sein.

$$\begin{array}{rl|rl} \frac{17}{20} & & 0, \\ \hline \frac{17}{10} & \to \frac 7{10}& 1 \\ \frac 75 & \to \frac 25 & 1 \\ \textcolor{#ffff00}{\frac 45} & & 0 \\ \frac 85 & \to \frac 35 & 1 \\ \frac 65 & \to \frac 15 & 1 \\ \frac 25 & & 0 \\ \textcolor{#00F}{\frac 45} & & &\text{Wiederholung!}\end{array}$$

In der nächsten Zeile schreibst Du darunter das Doppelte, was man bei Brüchen auch dadurch erreicht, wenn man den Nenner halbiert! Ist dieser Wert $\gt 1$ so wird $1$ abgezogen und in die letzte Spalte eine $1$ geschrieben. Falls nicht so steht dort eine $0$.

Das wird solange fortgeführt, bis der gleiche Wert nochmal auftaucht - das ist hier die $4/5$. Ab dort wiederholt sich alles. Also ist:

$$\frac {17}{20} = 0,11 \overline{0110}_2$$

Alternative Lösung:

Hinweis: Die periodische Zahl 0,000 . . . 01 mit Periodenlänge $n$ lässt sich darstellen als $$\sum_{k=1}^{\infty} g^{-kn} = \frac 1{g^n - 1}$$

das hatte mich zunächst verwirrt. Es ist zwar offensichtlich (siehe geometrische Reihe), aber wie das helfen soll, war mir nicht klar. Inzwischen ist mir dazu folgendes eingefallen.

Als erstes muss man den periodischen Teil der Zahl isolieren. Dazu kann man die Summe $17/20 = 1/4 + 3/5$ nutzen, oder - falls die Summe nicht bekannt ist *) - im Nenner alle Potenzen von $2$ ausklammern und den Rest in eine Summe mit dem ganzzahligen Teil und dem Rest des verbleibenden Faktors aufteilen. Macht:$$\frac {17}{20} = \frac 14 \cdot \frac{17}{5} = \frac 14 \left(3 + \frac 25 \right) = 0,01_2 \left( 11_2 + \frac 25\right)$$Der Nenner des verbleibenden Bruches (hier $5$) gibt die Periodenlänge $n$ vor; es ist der Nenner minus 1. Die könnte zwar zu groß sein, aber es geht immer auf. Hier ist $n=5-1=4$ und man kann nun gleich setzen: $$\begin{aligned}a_0 \frac 1{2^4 - 1} &= \frac 25 \\ &= 6 \cdot \frac{1}{15} \\ &= 6 \cdot \frac 1{2^4-1}\\ &= 6 \sum_{k=1}^{\infty} 2^{-4k} \\ &= 110_2 \cdot \sum_{k=1}^{\infty} (0,0001_2)^k \\ &= 110_2 \cdot 0,\overline{0001}_2 \\ &= 0,\overline{0110}_2 \end{aligned}$$Einsetzen in obige Gleichung für $17/20$:$$\frac{17}{20} = 0,01_2 \left( 11_2 + 0,\overline{0110}_2\right) = 0,01_2 \cdot 11,\overline{0110}_2 = 0,11\overline{0110}_2$$Das ganze geht mit der Summe $1/4+3/5$ natürlich genauso. Es ist$$\begin{aligned}b_0 \frac 1{2^4 - 1} &= \frac 35 \\ &= 9 \cdot \frac{1}{2^4-1}\\ &= 1001_2 \cdot 0,\overline{0001}_2 \\ &= 0,\overline{1001}_2 \\ \implies \frac {17}{20} &= \frac 14 + \frac 35 \\ &= 0,01_2 + 0,\overline{1001}_2 \\ &= 0,1101 \overline{1001}_2 = 0,11\overline{0110}_2 \end{aligned}$$Diese Verfahren befreit einen leider nicht davon, von dem $a_0$ - also der $6$ bzw. der $9$ - die binäre Darstellung finden zu müssen.

*) Bem. zur Aufteilung des Bruchs: Allgemein kann man dies mit einer Partialbruchzerlegung und anschließendem erweiterten euklidischen Algorithmus machen. Erscheint mit aber recht aufwendig.

Gruß Werner