Funktionsscharen. Ursprung bestimmen

Question

Gegeben ist die Funktion:

f_k : x → x⁴ – kx²      mit x ∈ ℝ  und  k > 0.

"Zeigen Sie, dass sich alle Funktionen der Funktionsschar im Ursprung berühren."

Ursprung ist der Punkt (0|0) richtig?

also: f_k(0) = 0⁴ – k • 0² = 0. 

Der Ursprung ist unabhängig von k. 

Ist diese Aussage ausreichend für meine Einsendeaufgabe?

Answer 1

Nein, du hast nur gezeigt:

Die schneiden sich alle im Ursprung.

Für "berühren" kommt noch hinzu, dass dort alle

die gleiche Steigung haben. Also betrachte

f ' (x) = 4x^3 - 2kx

f ' (0) = 0, also unabhängig von k; damit haben auch alle

bei x=0 die gleiche Steigung.

Comments

Ahso... Vielen dank für deine deutliche Antwort. Jetzt habe ich es Verstanden :)

Answer 2

Für zwei verschiedene Funktionen f_a(x) und f_b(x) (a≠b) führt der Ansatz x⁴-ax²=x⁴-bx² zu einem Schnittpunkt mittels dieser Rechnung: bx²-ax²=0 oder (a-b)x²=0. Wegen a≠b muss x²=0 und dann x=0 gelten. f_k(0)=0. Schnittpunkt ist (0|0). Wegen f_k'(x)=4x³-2kx ist f_k'(0)=0 für alle k und daher haben an der Stelle 0 alle f_k ein Extremum, in dem sie sich alle berühren.

Comments

Ohhh jetzt sehe ich es! ! Es hat mir jetzt viel geholfen  :)

Answer 3

die Funktionen sollen sich im Ursprung berühren, daher muss auch die Steigung gleich sein.

f_k'(x) = 4x^3 - 2kx

f_k'(0) = 0, unabhängig von k

Comments

Ah natürlich! stimmt... Vielen Dank für ihre Antwort :) jetzt hab ich es! !