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Aufgabe:

Betrachten Sie die Funktion f:ℝ2→ℝ gegeben durch

f(x,y)={xyx2+y2 \frac{xy}{x^2+y^2} falls (x,y) ≠ (0,0)

            0      falls (x,y) = (0,0)}

1) Sind die partiellen Ableitungen stetig an (0,0)?

2) Sei α ∈ [0,2π) und sei v=(cos(α)sin(α)) \begin{pmatrix} cos(α)\\sin(α) \end{pmatrix} . Untersuchen Sie, für welche Werte von α die Richtungsableitung δvf(0,0) existiert und bestimmen Sie, im Falle der Existenz, deren Wert.


Problem/Ansatz:

1) Für die partiellen Ableitungen erhalte ich

δfδx \frac{δf}{δx} f(x,y)=y(x2+y2)(x2+y2)2 \frac{y(-x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}

δfδy \frac{δf}{δy}  f(x,y)=x(y2+x2)(x2+y2)2 \frac{x(-y^2+x^2)}{(x^2+y^2)^2}

Nun ist ja die Frage ob diese stetig an (0,0) sind, dafür wäre zu zeigen, dass limx a \lim\limits_{x\to\ \vec{a}} f(x \vec{x} )=f(a \vec{a} ), wobei a \vec{a} =(0,0).

Allerdings verstehe ich nicht wie ich dies nun angehen soll, da ich ja x und y gegen 0 streben lassen muss.


2) Hierzu habe ich folgende Definition gefunden:

Der Grenzwert δv \vec{v} f(\vec{a})=limh 0 \lim\limits_{h\to\ 0} f(a+hv)f(a)h \frac{f(\vec{a}+h*\vec{v})-f(\vec{a})}{h} heißt für v \vec{v} ≠0 die Richtungsableitung von f im Punkt a \vec{a}   in Richtung v \vec{v} .

Dadurch komme ich nach einsetzen und kürzen auf δvf(0,0)=limh 0 \lim\limits_{h\to\ 0} cos(α)sin(α)h \frac{cos(α)*sin(α)}{h} .

Jetzt habe ich mir überlegt, damit die Richtungsableitung existiert, muss gelten: cos(α)*sin(α)=0 (Also α=π2 \frac{π}{2} ,3π2 \frac{3π}{2} ,0,π) . Denn wenn h gegen 0 strebt und ich im Zähler 0 stehen habe, erhalte ich 0 als Richtungsableitung. (Ich teile ja nicht durch 0, sondern nur durch nahe 0).

Hätte ich im Zähler z.B. 1 stehen, würde ich ja unendlich rausbekommen und das wäre keine richtige Ableitung oder?

Sind meine Überlegungen richtig oder habe ich hier etwas übersehen?


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