Aufgabe:
Betrachten Sie die Funktion f:ℝ2→ℝ gegeben durch
f(x,y)={x2+y2xy falls (x,y) ≠ (0,0)
0 falls (x,y) = (0,0)}
1) Sind die partiellen Ableitungen stetig an (0,0)?
2) Sei α ∈ [0,2π) und sei v=(cos(α)sin(α)) . Untersuchen Sie, für welche Werte von α die Richtungsableitung δvf(0,0) existiert und bestimmen Sie, im Falle der Existenz, deren Wert.
Problem/Ansatz:
1) Für die partiellen Ableitungen erhalte ich
δxδf f(x,y)=(x2+y2)2y(−x2+y2)
δyδf f(x,y)=(x2+y2)2x(−y2+x2)
Nun ist ja die Frage ob diese stetig an (0,0) sind, dafür wäre zu zeigen, dass x→ alim f(x )=f(a ), wobei a =(0,0).
Allerdings verstehe ich nicht wie ich dies nun angehen soll, da ich ja x und y gegen 0 streben lassen muss.
2) Hierzu habe ich folgende Definition gefunden:
Der Grenzwert δv f(\vec{a})=h→ 0lim hf(a+h∗v)−f(a) heißt für v ≠0 die Richtungsableitung von f im Punkt a in Richtung v .
Dadurch komme ich nach einsetzen und kürzen auf δvf(0,0)=h→ 0lim hcos(α)∗sin(α) .
Jetzt habe ich mir überlegt, damit die Richtungsableitung existiert, muss gelten: cos(α)*sin(α)=0 (Also α=2π,23π,0,π) . Denn wenn h gegen 0 strebt und ich im Zähler 0 stehen habe, erhalte ich 0 als Richtungsableitung. (Ich teile ja nicht durch 0, sondern nur durch nahe 0).
Hätte ich im Zähler z.B. 1 stehen, würde ich ja unendlich rausbekommen und das wäre keine richtige Ableitung oder?
Sind meine Überlegungen richtig oder habe ich hier etwas übersehen?