Lineare Abbildungen bestimmen

Question

 
In dieser Aufgabe geht's darum zu zeigen,Ob es eine, keine oder mehrere lineare Abbildungen von R² nach R² mit diesen Eigenschaften gibt. 

f1 ( 1, 1 ) = (1, 1) , f1( 0, 3 ) = (0, 4) undf1( 3, 1 ) = (3, 1)

f2 ist nicht injektiv und f2( 1, 0 ) = (2, 0)

f3({ x, 0 | x ∈ ℝ}) = { x, 1 | x ∈ ℝ}

Ich hab mir schon gedanken drüber gemacht, und herausgefunfen, dass es bei f1 und f3 kein lin. Abb. geben kann. Würde mich freuen wenn jamand hier das bestätigt.
f2 kriege ich leider nicht  hin denn ich hab keine Ahnung was mir Injektivität in diesem Fall bringt..

Dankeschön mal im Voraus

Answer 1

a) gäbe es eine, dann wäre

f(3,1) = f( 3*(1,1) + (1/3)*(0,3) )

         = 3*(1;1) +  (1/3)*(0,4) )

          aber das ist nicht  (3 ; 1).

b) da gibt es mehrere  etwa   f(x,y) = (2x,0)  und f( x+y;0)

Comments

Könntest du aber noch genauer erklären? Ich verstehe nicht was du meinst.

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Welche denn: a oder b ?

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Beide wenn es möglich ist

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a) a) gäbe es eine solche lin. Abb. , dann wäre

f(3,1) = f( 3*(1,1) + (1/3)*(0,3) )

weil (3,1) als Linearkombination

3*(1,1) + (1/3)*(0,3)

dargestellt werden kann

(Rechne mal nach !)

Da die Abbildung linear ist, gilt aber

f( 3*(1,1) + (1/3)*(0,3) )

=   3* f(1,1) + (1/3)*f(0,3)

und die Werte für  f(1,1) und f(0,3)

sind ja gegeben und können also

eingesetzt werden:

         = 3*(1;1) +  (1/3)*(0,4) )

          aber das ist nicht  (3 ; 1).

Müsste aber gleich f(3,1) sein, wenn die

Linearität erfüllt wäre.

b) da gibt es mehrere  etwa   f(x,y) = (2x,0)  und f( x+y;0)

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Vielen vielen Dank