Ich habe eine Frage zum Beweis einer Ungleichung:
In der mir vorliegenden Literatur wird der Beweis für den rechten Teil der Ungleichung \( \left(1+\frac{I}{n-1}\right)^{n-t}<\left(I+\frac{l}{n}\right)^{n}<3 \) wie folgt gefiurt: Aus \( \left(1+\frac{l}{n}\right)^{n} \) folgt nach dem binomischen Lehrsatz:
\( I+\left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right) \frac{1}{n}+\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right) \frac{1}{n^{2}}+\ldots+\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \frac{1}{n^{k}}+\left(\begin{array}{c}n \\ n-1\end{array}\right) \frac{1}{n^{-1}}+\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right) \frac{l}{n^{n}}<3 \)
Für einen beliebigen Summanden gilt, wem \( 2 \leq k \leq n \) ist.
\( \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \frac{I}{n^{k}}=\frac{I}{k !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdot \ldots \cdot\left(1-\frac{k-1}{n}\right) \leq \frac{1}{k !} \leq \frac{I}{2^{k-1}} \)
Diesen Schritt kann ich nicht nachvollziehen. Woher kommen die Klammerausdricke? Wie kommt man auf die letzte Schranke \( \frac{1}{2^{k-1}} \) ?
Im Beweisgang hei\betat es dann weiter: Daraus folgt \( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\ldots+\frac{1}{2^{k-1}}<1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=3 \)
Auch diesen Schritt kamn ich bezüglich der letzten Schranke nicht nachvollziehen.
Woher kommt \( 1+\frac{1}{1-\frac{l}{2}} \)?
Quellen:
1. Kleine Einzyklopädie Mathematik, Thun und Frankfurt, 1984, S. 127 §18.1
2. Einführung in die höhere Mathematk, Stuttgart, 1967, S. 127, Nr. 13
